ニュートン法

方程式の解を、接線をたどって数値で求める方法をニュートン法といいます¹。 $f(x) = x^2 - 2$ の正の解、つまり $\sqrt{2}$ を求めます。

接線をたどる

$x_0 = 2$ から始めます。 $f(2) = 2$ 、 $f'(2) = 4$ なので、 $(2, 2)$ での接線は $y = 4x - 6$ です。この接線が $x$ 軸と交わるのは $x = 1.5$ で、これを次の値 $x_1$ にします。

同じことを繰り返します。 $f(1.5) = 0.25$ 、 $f'(1.5) = 3$ なので接線は $y = 3x - \dfrac{17}{4}$ 、 $x$ 軸との交点は $x_2 = \dfrac{17}{12} = 1.41667$ です。

接線 $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ が $x$ 軸と交わる点を求めます。

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

$f(x) = x^2 - 2$ では、次のように整理できます。

\begin{align*} x_{n+1} &= x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} \\ &= \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right) \end{align*}

いまの値と $\dfrac{2}{x_n}$ の平均をとる形になります。 $x_n$ が $\sqrt{2}$ より大きければ $\dfrac{2}{x_n}$ は小さくなるので、平均は必ず間に入ります。

$\sqrt{2} = 1.414214$ に対して、正しい桁数が $1$ 回ごとにほぼ倍になります。

接線が曲線の一次近似であることが、この方法の中身です。曲線を直線に置きかえて解き、得られた答えのところでまた置きかえ直す。それを繰り返しています。

グラフの放物線が $y = x^2 - 2$ 、 $2$ 本の直線が $x_0 = 2$ と $x_1 = 1.5$ での接線で、大きな点は接点と、接線が $x$ 軸を切る点です。