有理関数 $y = x + \dfrac{1}{x}$ のグラフ

$y = x + \dfrac{1}{x}$ は、一次関数と反比例を足しただけの式ですが、斜め漸近線をもつ関数の代表例であり、相加平均と相乗平均の関係がそのままグラフの形に現れる関数でもあります。

定義域と対称性

定義域は $x \neq 0$ です。$f(-x) = -x - \dfrac{1}{x} = -f(x)$ より奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

増減と極値

導関数は次のようになります。

分母はつねに正なので、符号は分子の $x^2 - 1$ だけで決まります。

二階導関数は $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$ なので $x > 0$ では下に凸、$x < 0$ では上に凸で、変曲点はありません。

相加平均と相乗平均

$x > 0$ のとき、相加平均と相乗平均の関係から次が成り立ちます。

等号が成り立つのは $x = \dfrac{1}{x}$、すなわち $x = 1$ のときに限ります。微分で求めた極小値 $2$ は、この不等式の等号成立そのものです。

値域

奇関数なので $x < 0$ 側では最大値 $-2$ をとり、値域は $y \leq -2$ または $y \geq 2$ となります。$-2 < y < 2$ の値はとりません。これは方程式 $x + \dfrac{1}{x} = k$ を整理した $x^2 - kx + 1 = 0$ が実数解をもつ条件、つまり判別式 $k^2 - 4 \geq 0$ からも確かめられます。

漸近線

$x \to 0^{+}$ で $y \to +\infty$、$x \to 0^{-}$ で $y \to -\infty$ なので $y$ 軸が垂直漸近線です。さらに $y - x = \dfrac{1}{x}$ は $x \to \pm\infty$ で $0$ に近づくため、直線 $y = x$ が斜め漸近線になります。グラフは遠方でこの直線に貼りつくように伸びていきます。

曲線の正体

$y - x = \dfrac{1}{x}$ の両辺に $x$ を掛けると、次の式になります。

$2$ 次曲線であること、$xy$ の項をもつことから双曲線であることが分かります。ただし漸近線は $y$ 軸と直線 $y = x$ で、なす角は $45^\circ$ ですから、反比例と違って直角双曲線ではありません。

逆数に対する不変性

$f\!\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1}{x} + x = f(x)$ が成り立ち、$x$ と $\dfrac{1}{x}$ で同じ値をとります。$f(2) = f\!\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{5}{2}$ のように、逆数どうしの点が同じ高さに並びます。また $x = e^{t}$ とおくと、次のようになります。

$x > 0$ の枝は、双曲線余弦を横に引き伸ばした形だと見ることもできます。

応用

面積が $1$ の長方形の縦を $x$ とすると横は $\dfrac{1}{x}$ で、周の長さは $2\left( x + \dfrac{1}{x} \right) \geq 4$ です。等号は $x = 1$、つまり正方形のときですから、面積が一定なら正方形がもっとも周の短い長方形だと読み取れます。複素数へ拡張した $w = z + \dfrac{1}{z}$ はジューコフスキー変換と呼ばれ、円を翼の断面へ移す写像として航空力学で使われます。