追跡線 $y = \ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} - \sqrt{1-x^2}$ のグラフ

$y = \ln\dfrac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x} - \sqrt{1-x^2}$ は追跡線（トラクトリックス）と呼ばれる曲線です¹。名はラテン語の「引く」に由来し、長さ $1$ のひもの一端を $y$ 軸に沿って引いていくとき、反対の端につないだ物体が描く軌跡にあたります。逆双曲線余弦を使えば $y = \operatorname{arcosh}\dfrac{1}{x} - \sqrt{1-x^2}$ とも書けます。

定義域と値域

• 定義域は $0 < x \leq 1$
• 値域は $y \geq 0$
• 単調に減少する
• $y$ 軸が垂直漸近線

$x = 1$ では $y = 0$、$x \to 0^{+}$ では $\ln\dfrac{2}{x} - 1 \to +\infty$ となります。

接線の長さが一定

この曲線を特徴づけるのは接線の性質です。

点 $(x, y)$ での接線が $y$ 軸に達するまでの横方向の変化は $x$、縦方向の変化は $|y'| \cdot x = \sqrt{1-x^2}$ です。

接線の長さはつねに $1$ になります。ひもの長さが変わらないこと、そしてひもがつねに物体の進む向きを指すことが、そのままこの式になっています。

単調性と凹凸

$0 < x < 1$ で $y' < 0$ なので単調に減少します。$x = 1$ では $y' = 0$ で、曲線は $x$ 軸に接するように入ります。二階導関数は $y'' = \dfrac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$ でつねに正ですから下に凸で、変曲点はもちません。

弧長は無限

$(1, 0)$ から横座標 $x$ の点までの弧長は $\ln\dfrac{1}{x}$ で、$x \to 0$ とともに発散します。曲線は $y$ 軸に限りなく近づきますが、決して届きません。長さは無限ですが、回転させた面積と体積は有限にとどまります。

擬球

この曲線を漸近線である $y$ 軸のまわりに回転させた曲面を擬球といいます²。$1 + (y')^2 = \dfrac{1}{x^2}$ なので線素は $ds = \dfrac{dx}{x}$ となります。

擬球全体は、半径 $1$ の球と表面積が等しく、体積はちょうどその半分になります。

負の曲率と非ユークリッド幾何

擬球はガウス曲率がいたるところ $-1$ の曲面です。球面が正の一定曲率をもつのに対し、こちらは負の一定曲率をもつので「擬球」と呼ばれます。$1868$ 年にベルトラミは、この曲面の上では平行線公準が成り立たないこと、すなわちロバチェフスキーの非ユークリッド幾何が局所的に実現されることを示しました。

歴史

懐中時計を鎖で机の上を引きずるとどんな線を描くか、という問いをペローが出し、ニュートンとホイヘンスが解きました。トラクトリックスという名は $1692$ 年のホイヘンスによります。

1. Tractrix、Wikipedia
2. Pseudosphere、Wikipedia