無理関数 $y = \sqrt[5]{x}$ のグラフ

$y = \sqrt[5]{x}$ は $5$ 乗して $x$ になる数を返す関数です¹。$5$ が奇数であることから負の数に対しても値が定まり、定義域は実数全体になります。偶数乗根が $x \geq 0$ でしか定義できないのとは対照的です。

定義域と対称性

• 定義域も値域もすべての実数
• 単調に増加する
• 奇関数
• 原点で接線が垂直

負の数の $5$ 乗根が定まるのは、負の数を $5$ 回掛けると符号が負のまま残るからで、$4$ 乗根や平方根では同じことが起こりません。

特徴的な値

値が $2$ になるまでに $x$ が $32$ まで必要という、増え方の遅さがここに表れています。

増減と凹凸

導関数は $y' = \dfrac{1}{5}x^{-4/5}$ です。分母は $x \neq 0$ でつねに正なので、全区間で単調に増加します。$x \to 0$ では $y' \to +\infty$ となり、原点での接線は垂直です。

二階導関数は $y'' = -\dfrac{4}{25}x^{-9/5}$ です。

原点では導関数が定義できませんが、曲がり方は確かにそこで反転するので、垂直な接線をもつ変曲点として扱われます。

逆関数

$y = \sqrt[5]{x}$ を $x$ について解くと $x = y^5$ ですから、逆関数は五次関数 $y = x^5$ です。$2$ つのグラフは直線 $y = x$ に関して対称になります。$x^5$ が原点付近で平らに寝て遠方で急に立ち上がるのに対し、$5$ 乗根は原点付近で立ち、遠方で寝るという、鏡に映した関係です。

他の累乗根との比較

$\sqrt[3]{x}$ とは $x = 0$ と $x = \pm 1$ で交わります。

$x = 32$ では $\sqrt[5]{32} = 2$ に対し $\sqrt[3]{32} \approx 3.175$ です。次数が上がるほどグラフは平らになり、極限では $x > 0$ で高さ $1$ の水平線に近づきます。一方 $\sqrt[4]{x}$ は $x \geq 0$ でしか描けないので、そもそも左半分が存在しません。

応用

一般の五次方程式は四則演算と累乗根では解けないことが示されていますが²、$x^5 = a$ という最も単純な形だけは累乗根そのもので解けます。この関数はその解を与えるものです。

物理では、爆発が生む衝撃波の半径がエネルギー $E$、時間 $t$、密度 $\rho$ から次のように表されます³。

テイラーがこの $\dfrac{1}{5}$ 乗則を使い、公開された写真だけから核実験の規模を言い当てた逸話が知られています。

1. Nth root、Wikipedia
2. Abel-Ruffini theorem、Wikipedia
3. Blast wave、Wikipedia