三角形の外接円

三角形の $3$ 頂点すべてを通る円を外接円といい、その中心を外心と呼びます¹。頂点 $A(-4, 0)$ 、 $B(4, 0)$ 、 $C(0, 4)$ の三角形で求めます。

外心の作り方

外心は $3$ 辺の垂直二等分線の交点です。垂直二等分線上の点は、その辺の両端から等距離にあります。だから $2$ 本の交点は $3$ 頂点すべてから等距離にあり、残る $1$ 本も必ずそこを通ります。

辺	中点	垂直二等分線
$AB$	$(0, 0)$	$x = 0$
$AC$	$(-2, 2)$	$y = -x$

$2$ 本の交点は $(0, 0)$ で、これが外心です。半径は外心から頂点までの距離で $R = 4$ 、外接円は $x^2 + y^2 = 16$ になります。 $3$ 頂点を代入するとどれも $16$ になり、確かに同じ円の上にあります。

直角三角形であること

$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-4)(4) + (-4)(-4) = 0$ なので $C$ が直角です。直角三角形では外心が斜辺の中点に来て、半径は斜辺の半分になります。逆に、円周上の点から直径を見た角は必ず直角です。これがタレスの定理です²。

半径を別の式で確かめる

正弦定理からも求められます。 $a = BC = 4\sqrt{2}$ 、 $\angle A = 45^\circ$ です。

\frac{a}{\sin A} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 = 2R

辺と面積からの式でも同じです。 $b = CA = 4\sqrt{2}$ 、 $c = AB = 8$ 、 $S = 16$ とすると次のようになります。

R = \frac{abc}{4S} = \frac{4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} \times 8}{4 \times 16} = \frac{256}{64} = 4

求め方	式	結果
頂点までの距離	$\sqrt{0^2 + 4^2}$	$4$
正弦定理	$\dfrac{a}{2\sin A}$	$4$
辺と面積	$\dfrac{abc}{4S}$	$4$

外接円が決まらない場合

$3$ 点が一直線上に並ぶときは外接円が決まりません。 $2$ 本の垂直二等分線が平行になり、交点をもたないからです。三角形が三角形である限り、外接円はただ $1$ つに決まります。

外心の位置

三角形の形	外心の位置
鋭角三角形	内側
直角三角形	斜辺の中点
鈍角三角形	外側

内心は必ず内側にありますが、外心はそうではありません。

グラフの $3$ 本の直線が $3$ 辺、上下 $2$ 本の弧が外接円で、大きな点は $3$ 頂点と外心 $(0, 0)$ です。

Circumcircle、Wikipedia
Thales's theorem、Wikipedia