積の微分

積の形の関数は、それぞれを微分して掛ける形にはなりません¹。 $f(x) = xe^{-x}$ で確かめます。

公式

(uv)' = u'v + uv'

$u = x$ 、 $v = e^{-x}$ とすると $u' = 1$ 、 $v' = -e^{-x}$ なので、次のようになります。

f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x}

$u'v' = -e^{-x}$ とは別のものになることに注意してください。

$e^{-x} > 0$ なので符号は $1 - x$ だけで決まります。

範囲	$f'$	増減
$x < 1$	正	増加
$x > 1$	負	減少

$x = 1$ で極大値 $f(1) = \dfrac{1}{e} \approx 0.368$ をとります。

$x \to \infty$ では $e^{-x}$ の減り方が $x$ の増え方より速いので $f \to 0$ です。 $x \to -\infty$ では $x$ が負、 $e^{-x}$ が大きいので $f \to -\infty$ になります。

二階導関数も同じ公式で求まります。

f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}

$x = 2$ で符号が変わるので、変曲点は $\left(2, \dfrac{2}{e^2}\right)$ 、値でいえば $(2, 0.271)$ です。

長方形の面積で見えます。辺の長さが $u$ 、 $v$ の長方形で、 $u$ が $\Delta u$ 、 $v$ が $\Delta v$ だけ増えたときの面積の増加は次のとおりです。

u\Delta v + v\Delta u + \Delta u \Delta v

最後の項は微小量どうしの積なので、 $\Delta x$ で割って $0$ に近づけると消えます。残るのが $u'v + uv'$ です。

この形の関数は、減衰しながら増える量に現れます。 $xe^{-x}$ は待ち時間の分布として使われ、山の位置 $x = 1$ が最も起こりやすい値になります。

グラフの山なりの曲線が $y = xe^{-x}$ 、それを横切る曲線が導関数で、大きな点は極大点と原点です。