直角三角形とピタゴラスの定理

直角三角形では、直角をはさむ $2$ 辺の平方の和が、斜辺の平方に等しくなります¹。頂点 $A(-3, 0)$ 、 $B(3, 0)$ 、 $C(0, 3)$ の三角形で確かめます。

直角であることの確認

$\overrightarrow{CA} = (-3, -3)$ 、 $\overrightarrow{CB} = (3, -3)$ で、内積は $(-3)(3) + (-3)(-3) = 0$ です。 $2$ 辺は垂直です。

$3$ 辺の長さは $CA = CB = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ 、 $AB = 6$ です。

CA^2 + CB^2 = 18 + 18 = 36 = 6^2 = AB^2

直角をはさむ $2$ 辺が等しいので、これは直角二等辺三角形で、辺の比は $1 : 1 : \sqrt{2}$ です。 $\sqrt{2}$ は正方形の対角線の長さとして現れる数で、この三角形は正方形を対角線で半分にした形にあたります。

$3$ 辺がすべて整数になる組み合わせもあり、ピタゴラス数と呼ばれます²。

$a$	$b$	$c$	$a^2 + b^2 = c^2$
$3$	$4$	$5$	$9 + 16 = 25$
$5$	$12$	$13$	$25 + 144 = 169$
$8$	$15$	$17$	$64 + 225 = 289$

$3$ 辺が $a^2 + b^2 = c^2$ を満たす三角形では、 $c$ に向かい合う角が直角になります。これが三平方の定理の逆です。

一辺 $a + b$ の正方形の中に、直角をはさむ $2$ 辺が $a$ 、 $b$ の直角三角形を $4$ つ風車のように並べると、内側に一辺 $c$ の正方形が残ります。全体の面積を $2$ 通りに数えます。

\begin{align*} (a + b)^2 &= 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 \\ a^2 + 2ab + b^2 &= 2ab + c^2 \\ a^2 + b^2 &= c^2 \end{align*}

$3$ 辺の長さから角の種類も分かります。

たとえば $5$ 、 $6$ 、 $8$ なら $25 + 36 = 61$ で $8^2 = 64$ に届かないので、最大の辺に向かい合う角は鈍角です。

座標平面の $2$ 点間の距離の公式は、この定理そのものです。

\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$x$ の差と $y$ の差を直角をはさむ $2$ 辺にとった三角形を作り、その斜辺を求めています。だから座標の計算では、この定理が至るところに顔を出します。

グラフの $3$ 本の直線が $3$ 辺で、大きな点が $3$ 頂点です。