多角形の面積とシューレースの公式

多角形の頂点の座標がわかっていれば、面積は頂点を一周たどるだけで計算できます¹。 $A(0, 0)$ 、 $B(4, 0)$ 、 $C(5, 3)$ 、 $D(2, 5)$ 、 $E(-1, 2)$ を頂点とする五角形で求めます。

シューレースの公式

頂点を反時計回りに $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ と並べ、隣り合う $2$ 点ごとに $x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$ を作って足します。最後の頂点の次は、最初の頂点に戻ります。

S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|

順に計算する

辺	$x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$	値
$AB$	$0 \cdot 0 - 4 \cdot 0$	$0$
$BC$	$4 \cdot 3 - 5 \cdot 0$	$12$
$CD$	$5 \cdot 5 - 2 \cdot 3$	$19$
$DE$	$2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5$	$9$
$EA$	$(-1) \cdot 0 - 0 \cdot 2$	$0$

合計は $40$ なので、面積は $\dfrac{1}{2} \times 40 = 20$ です。

式の意味

式の意味は三角形の面積からたどれます。原点と $2$ 点 $(p, q)$ 、 $(r, s)$ が作る三角形の面積は $\dfrac{1}{2}|ps - qr|$ でした。原点から各辺を見て三角形に切り分け、符号つきで足すと、多角形の外にはみ出したぶんは負の三角形として打ち消され、多角形そのものの面積が残ります。

対角線で切っても確かめられる

三角形	面積
$\triangle ABC$	$6$
$\triangle ACD$	$\dfrac{19}{2}$
$\triangle ADE$	$\dfrac{9}{2}$
合計	$20$

一致します。

使うときの注意

頂点は必ず一周する順に並べる（並べ替えると別の図形になる）
辺が自分自身と交わらないこと（自己交差すると面積が打ち消し合う）
凸でなくてもかまわない

符号の意味

絶対値を外した値の符号は向きを表し、反時計回りなら正、時計回りなら負です。この符号は、多角形の裏表をコンピュータで判定するのにも使われます。

グラフの $5$ 本の直線が $5$ 辺、大きな点が $5$ 頂点です。

Shoelace formula、Wikipedia