符号つき面積と絶対値

定積分は面積そのものではなく、符号のついた面積です。$y = x^3$ を $-1$ から $1$ まで積分して確かめます。

答えは $0$ です。しかしグラフを見れば、囲まれた部分に面積はあります。$0 \leq x \leq 1$ では曲線が $x$ 軸の上、$-1 \leq x \leq 0$ では下にあり、下側の部分が負に数えられて打ち消し合ったのです。

面積が欲しいとき

絶対値をとってから積分します。

$|x|^3$ は偶関数なので、右半分を計算して $2$ 倍すれば済みます。

対称性を使う

$x^3$ は奇関数、$|x|^3$ は偶関数なので、上の $2$ つはその典型です。対称性を知っていれば計算は短くなります。

符号つきであることの意味

符号つきであることは欠点ではありません。速度を積分すると、進んだ向きの分だけ増え、戻った分は減って、正味の変位が出ます。面積が欲しいなら絶対値、正味の変化が欲しいならそのまま積分する、と使い分けます。

原始関数の側から見る

$x^3$ の原始関数 $\dfrac{x^4}{4}$ は偶関数なので、$x = -1$ と $x = 1$ で同じ値をとります。差をとれば $0$ になるのは当然です。一方 $|x|^3$ の原始関数は $x \geq 0$ で $\dfrac{x^4}{4}$、$x < 0$ で $-\dfrac{x^4}{4}$ と、区間によって式が変わります。

面積を求めるときは、まず $f = 0$ となる $x$ を探して区間を分けます。この関数では $x = 0$ が境目です。

グラフの原点について対称な曲線が $y = x^3$、$y$ 軸について対称な曲線が $y = |x|^3$ で、大きな点は $(-1, -1)$、$(0, 0)$、$(1, 1)$ です。