商の微分

分数の形の関数は、商の微分の公式で微分します¹。 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ で確かめます。

公式

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

$u = x^2 - 1$ 、 $v = x^2 + 1$ とすると $u' = v' = 2x$ なので、次のようになります。

f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}

分子は $u'v - uv'$ で、引く順序を入れ替えると符号が反対になります。積の微分と違って順序が効きます。

分母は $2$ 乗なので常に正で、符号は分子の $4x$ だけで決まります。

範囲	$f'$	増減
$x < 0$	負	減少
$x > 0$	正	増加

$x = 0$ で最小値 $f(0) = -1$ をとります。

$x \to \pm\infty$ では分子と分母の次数が同じなので $f \to 1$ に近づきます。 $y = 1$ が漸近線です。実際、次のように変形できます。

f(x) = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}

$1$ から正の量を引いた形になっています。この形なら商の微分を使わずに、 $-2(x^2+1)^{-1}$ を微分して同じ答えを出せます。

偶関数なので $y$ 軸について対称です。値域は $-1 \leq f < 1$ で、 $x$ 軸と交わるのは $x = \pm 1$ の $2$ 点です。

$\dfrac{u}{v} = uv^{-1}$ と見て積の微分を使い、 $\left( v^{-1} \right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ を入れます。

u'v^{-1} + u\left( -\frac{v'}{v^2} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}

覚える公式を増やしたくなければ、こちらで済ませてもかまいません。

分母が $0$ になる点では、そもそも関数が定義されないので微分もできません。この関数は $x^2 + 1 > 0$ なので、すべての $x$ で微分できます。

グラフの下に凸の曲線が $y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 、原点を通る曲線が導関数で、大きな点は最小点と $x$ 軸との交点です。