2 曲線で囲む面積

$2$ つの曲線で囲まれた部分の面積は、上にある関数から下にある関数を引いて積分します。$y = x^2$ と $y = 2x$ で求めます。

交点と上下

$x^2 = 2x$ より $x(x - 2) = 0$ なので $x = 0$ と $x = 2$、交点は $(0, 0)$ と $(2, 4)$ です。この $2$ 点が積分の区間を決めます。

$0 < x < 2$ ではどちらが上でしょうか。$x = 1$ を入れると $x^2 = 1$、$2x = 2$ なので、直線のほうが上です。だから被積分関数は $2x - x^2$ になります。

差として見る

$2$ つの領域の差が、囲まれた部分になります。

$x$ 軸より下でも使える

この引き算は、曲線が $x$ 軸より下にあっても使えます。両方を下へ $c$ だけ平行移動しても差 $\left( 2x - c \right) - \left( x^2 - c \right)$ は変わらないので、面積も変わりません。上下の判定さえ正しければ、符号の心配は要りません。

上下が入れ替わる場合は区間を分けます。交点ごとに区切って、それぞれの区間で上の関数を選び直し、面積を足し合わせます。

$y$ について積分する

$x^2 = y$ と $2x = y$ を $x$ について解くと $x = \sqrt{y}$、$x = \dfrac{y}{2}$ です。

横に細長い長方形を足し上げても同じ値になります。

放物線と直線の近道

交点の $x$ 座標を $\alpha$、$\beta$ とすると、$x^2$ の係数が $1$ なら面積は $\dfrac{(\beta - \alpha)^3}{6}$ です。ここでは $\dfrac{(2 - 0)^3}{6} = \dfrac{4}{3}$ で、上の計算と一致します。

グラフの放物線が $y = x^2$、直線が $y = 2x$ で、大きな点は交点です。