指数関数と対数関数の微分

微分しても変わらない関数と、微分すると $\dfrac{1}{x}$ になる関数の話です。 $y = e^x$ と $y = \ln x$ を見ます。

\begin{align*} \left( e^x \right)' &= e^x \\ \left( \ln x \right)' &= \frac{1}{x} \end{align*}

傾きが高さに等しい

$e^x$ は、どの点でも接線の傾きがその点の高さに等しい関数です¹。

$x$	$e^x$	傾き
$0$	$1$	$1$
$1$	$e \approx 2.718$	$e \approx 2.718$
$2$	$e^2 \approx 7.389$	$e^2 \approx 7.389$

この性質をもつ関数は $Ce^x$ の形だけで、 $e$ という数はそこから決まります。

$2^x$ ではこうなりません。 $\left( 2^x \right)' = 2^x \ln 2$ で、 $\ln 2 \approx 0.693$ の倍だけずれます。底が $e$ のときにだけ、余分な係数が消えます。

対数の微分

$\ln x$ の微分は $\dfrac{1}{x}$ です²。

$x$	$\left( \ln x \right)'$
$1$	$1$
$2$	$\dfrac{1}{2}$
$10$	$\dfrac{1}{10}$

右へ行くほど平らになります。 $\ln x$ が無限に増えながら増え方を落としていくのは、このためです。

逆関数の関係

$2$ つは互いに逆関数で、グラフは $y = x$ について対称です。逆関数の微分は $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{dy/dx}$ なので、 $y = e^x$ の傾きが $y$ 自身なら、 $x = \ln y$ の傾きは $\dfrac{1}{y}$ になります。片方から他方が出てきます。

積分の穴を埋める

$\dfrac{1}{x}$ を積分すると $\ln x$ に戻ります。 $x^n$ の積分は $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ですが、 $n = -1$ では分母が $0$ になって使えません。その穴を埋めるのが対数です。

底が $e$ でない場合

関数	導関数
$a^x$	$a^x \ln a$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$

$a^x = e^{x \ln a}$ と書き直して連鎖律を使えば前者、 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ から後者が出ます。どの底でも、自然対数に直せば同じ $2$ つの公式に帰着します。

グラフの急に立ち上がる曲線が $y = e^x$ 、ゆるやかに増える曲線が $y = \ln x$ 、双曲線が $y = \dfrac{1}{x}$ で、大きな点は $(0, 1)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(1, 1)$ です。

Exponential function、Wikipedia
Natural logarithm、Wikipedia