y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}

ディオクレスのシッソイド $y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}$

$y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}$ は、ディオクレスのシッソイドの上半分です¹。両辺を $2$ 乗した $y^2(1-x) = x^3$ が曲線の方程式で、紀元前 $2$ 世紀ごろのギリシアの数学者ディオクレスが、立方体倍積問題を解くために考案しました。シッソイドという名はギリシア語の「ツタの葉に似た」に由来します。

定義域と値域

定義域は $0 \leq x < 1$
値域は $y \geq 0$
単調に増加する
下半分とあわせた曲線全体は $x$ 軸に対称

$x$ の範囲	分子 $x^3$	分母 $1-x$	根号の中
$x < 0$	負	正	負（不可）
$0 \leq x < 1$	$0$ 以上	正	$0$ 以上
$x > 1$	正	負	負（不可）

原点の尖点

原点の近くでは $1 - x \approx 1$ なので $y \approx x^{3/2}$ とふるまい、 $y' = \dfrac{3}{2}x^{1/2} \to 0$ となります。したがって原点での接線は $x$ 軸ですが、上下の二つの枝が同じ向きから入ってくるため、なめらかにはつながりません。原点は尖点です。

単調性と漸近線

$y^2 = \dfrac{x^3}{1-x}$ の両辺を微分すると $2yy' = \dfrac{x^2(3-2x)}{(1-x)^2}$ となり、 $0 < x < 1$ では右辺が正なので単調に増加します。 $x \to 1^{-}$ では分母が $0$ に近づいて $y \to +\infty$ となるため、直線 $x = 1$ が垂直漸近線です。曲線は原点から出て、この漸近線に沿って上へ伸びていきます。

幾何学的な作り方

直径 $1$ の円 $x^2 + y^2 = x$ と、その円に $(1, 0)$ で接する直線 $x = 1$ を用意します。原点から出る半直線が円と交わる点を $Q$ 、直線と交わる点を $R$ とし、原点からの距離が線分 $QR$ の長さに等しい点 $P$ をとると、 $P$ の軌跡がシッソイドです。

実際 $OQ = \cos\theta$ 、 $OR = \sec\theta$ なので $OP = \sec\theta - \cos\theta$ となり、極方程式は次の形になります。

r = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}

立方体倍積問題

与えられた立方体の体積を $2$ 倍する、つまり $\sqrt[3]{2}$ を作図する問題は、定規とコンパスだけでは解けないことが知られています²。ディオクレスはこの曲線を使って解きました。

曲線上の点では次が成り立ちます。

\left(\frac{y}{x}\right)^3 = \frac{y^3}{x^3} = \frac{y^3}{y^2(1-x)} = \frac{y}{1-x}

そこで点 $(1, 0)$ と点 $(0, 2)$ を結ぶ直線 $y = 2(1-x)$ との交点をとれば、右辺は $2$ になり、比 $\dfrac{y}{x}$ がちょうど $\sqrt[3]{2}$ になります。 $(0, k)$ に変えれば同じ手順で $\sqrt[3]{k}$ が得られます。

放物線との関係

原点を中心とする半径 $1$ の反転、すなわち点 $P$ を同じ半直線上の $OP \cdot OP' = 1$ となる点 $P'$ に移す変換でこの曲線を写すと、放物線 $y^2 = x$ になります。逆にいえば、シッソイドは放物線をその頂点を中心に反転した曲線です。 $1$ 本の漸近線と $1$ 個の尖点をもつ三次曲線として、ニュートンによる三次曲線の分類にも現れます。

Cissoid of Diocles、Wikipedia
Doubling the cube、Wikipedia

ディオクレスのシッソイド y=x31−xy = \sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}y=1−xx3​​