極値と最大・最小の違い

極値と最大・最小は別のものです¹。 $f(x) = x^4 - 2x^2$ で違いを見ます。

極値を求める

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$ なので、 $f' = 0$ となるのは $3$ 点です。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	減少	極小 $-1$	増加	極大 $0$	減少	極小 $-1$	増加

極大値が $0$ 、極小値が $-1$ です。

極大値は最大値ではない

ここで大事なのは、極大値がグラフ全体の最大値ではないことです。 $x \to \pm\infty$ で $f \to \infty$ なので、この関数に最大値はありません。 $(0, 0)$ は近くでいちばん高いだけの点です。

最小値のほうは存在します。 $2$ か所の極小値がどちらも $-1$ で、これが全体でいちばん低い値なので、最小値は $-1$ です。最小値を与える $x$ が $2$ つあってもかまいません。

項目	極値	最大・最小
比べる範囲	点の近く	全体または区間
この関数の値	極大 $0$ 、極小 $-1$	最大なし、最小 $-1$

極値は近くだけを見た比較、最大・最小は全体を見た比較です。だから最大・最小を求めるときは、 $f' = 0$ の点だけでなく、区間の端や無限の側のふるまいも調べます。

区間を限ると変わる

$0 \leq x \leq 2$ に限ると答えが変わります。

候補	$x$	$f(x)$
極小	$1$	$-1$
区間の左端	$0$	$0$
区間の右端	$2$	$8$

最大値は $8$ 、最小値は $-1$ です。 $x = 2$ は極値ではありませんが、区間の端なので最大値の候補になります。

グラフの形

$f(x) = x^2(x^2 - 2)$ と因数分解できるので、 $x$ 軸との交点は $x = 0$ と $x = \pm\sqrt{2}$ です。 $x = 0$ は重解なので、原点では $x$ 軸に触れるだけで横切りません。 $0 < |x| < \sqrt{2}$ では $f < 0$ で、グラフは $x$ 軸の下にもぐります。

形は W 字です。偶関数なので $y$ 軸について対称で、原点で小さな山を作り、 $x = \pm 1$ で $2$ つの谷を作ります。

グラフの $4$ 次曲線が $y = x^4 - 2x^2$ 、 $3$ 次曲線が導関数で、大きな点は極小点 $(-1, -1)$ 、 $(1, -1)$ と極大点 $(0, 0)$ です。

Maximum and minimum、Wikipedia