y = \operatorname{arcoth} x

逆双曲線余接 $y = \operatorname{arcoth} x$

$\operatorname{arcoth} x$ （逆双曲線余接）は、双曲線余接 $\coth x = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ の逆関数です¹。 $\coth$ は $x \neq 0$ の各枝を $|y| > 1$ の範囲へ単調に写すので、その逆関数の定義域は $|x| > 1$ になります。

定義と閉形式

$y = \operatorname{arcoth} x$ は $x = \coth y$ を満たす $y$ です。対数を使うと次のように書けます。

\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}

真数 $\dfrac{x+1}{x-1}$ が正になるのは $x > 1$ または $x < -1$ のときで、これが定義域と一致します。

定義域と値域

定義域は $x < -1$ または $x > 1$
値域は $y \neq 0$
各枝で単調に減少する
奇関数

$-1 \leq x \leq 1$ には値がありません。値域から $0$ が抜けるのは、 $\coth$ が $0$ という値をとらないことの裏返しです。

対称性と漸近線

$\coth$ が奇関数なので逆関数も奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

近づき方	$\operatorname{arcoth} x$
$x \to 1^{+}$	$\to +\infty$
$x \to -1^{-}$	$\to -\infty$
$x \to \pm\infty$	$\to 0$

$x = 1$ と $x = -1$ が垂直漸近線、 $x$ 軸が水平漸近線です。

増減と凹凸

導関数は $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \dfrac{1}{1-x^{2}}$ です。定義域では $x^{2} > 1$ なので分母は負、つまり導関数はつねに負で、どちらの枝でも単調に減少します。

二階導関数は $\dfrac{2x}{(1-x^{2})^{2}}$ で符号は $x$ と同じですから、 $x > 1$ では下に凸、 $x < -1$ では上に凸となり、変曲点はありません。

特徴的な値

$x$	$\operatorname{arcoth} x$
$1.5$	$\dfrac{1}{2}\ln 5 \approx 0.8047$
$2$	$\dfrac{1}{2}\ln 3 \approx 0.5493$
$3$	$\dfrac{1}{2}\ln 2 \approx 0.3466$
$10$	$\approx 0.1003$

逆双曲線正接との関係

導関数の式 $\dfrac{1}{1-x^{2}}$ は、逆双曲線正接 $\operatorname{artanh} x$ の導関数とまったく同じです。違うのは定義域で、二つの関数が同じ式を互いに補い合う範囲で担当しています。

項目	$\operatorname{artanh} x$	$\operatorname{arcoth} x$
定義域	$\|x\| < 1$	$\|x\| > 1$
値域	すべての実数	$y \neq 0$
導関数	$\dfrac{1}{1-x^{2}}$	$\dfrac{1}{1-x^{2}}$
増減	単調増加	各枝で単調減少

この事情から、積分 $\int \dfrac{dx}{1-x^{2}}$ の答えは区間によって書き分けることになります。もっとも、絶対値をつければ両方をまとめられます。

\int \frac{dx}{1-x^{2}} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C

逆数を通じた関係

\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh}\frac{1}{x}

$|x| > 1$ のとき $\left|\dfrac{1}{x}\right| < 1$ ですから、右辺はちょうど $\operatorname{artanh}$ の定義域に収まります。 $\coth$ が $\tanh$ の逆数であることが、逆関数の側では引数の逆数として現れる形です。

Inverse hyperbolic functions、Wikipedia

逆双曲線余接 y=arcoth⁡xy = \operatorname{arcoth} xy=arcothx