円に内接する四角形

$4$ つの頂点が同じ円周上にある四角形を、円に内接する四角形といいます¹。 $A(5, 0)$ 、 $B(3, 4)$ 、 $C(-3, 4)$ 、 $D(-4, -3)$ で調べます。

同一円周上にあること

$4$ 点はすべて $x^2 + y^2 = 25$ を満たします。

頂点	$x^2 + y^2$
$A(5, 0)$	$25 + 0 = 25$
$B(3, 4)$	$9 + 16 = 25$
$C(-3, 4)$	$9 + 16 = 25$
$D(-4, -3)$	$16 + 9 = 25$

中心 $(0, 0)$ 、半径 $5$ の円の上にあります。

向かい合う角の和

この四角形では、向かい合う角の和が $180^\circ$ になります。円周角の定理から、 $\angle A$ は $A$ を含まない弧に対する中心角の半分、 $\angle C$ は $C$ を含まない弧に対する中心角の半分です。 $2$ つの弧を合わせると円 $1$ 周ぶんの $360^\circ$ なので、和は必ずその半分になります。

逆も成り立ちます。向かい合う角の和が $180^\circ$ の四角形は、必ず $1$ つの円に内接します。 $4$ 点が同一円周上にあることを示す道具として使われます。

トレミーの定理

対角線には次の関係があります²。

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA

実際に計算します。

長さ	値
$AC$	$4\sqrt{5}$
$BD$	$7\sqrt{2}$
$AB$	$2\sqrt{5}$
$CD$	$5\sqrt{2}$
$BC$	$6$
$DA$	$3\sqrt{10}$

左辺は $4\sqrt{5} \times 7\sqrt{2} = 28\sqrt{10}$ 、右辺は $10\sqrt{10} + 18\sqrt{10} = 28\sqrt{10}$ で一致します。

円に内接しない四角形では、この等式は成り立たず、左辺のほうが小さくなります。これがトレミーの不等式で、等号が成り立つのは円に内接するときだけです。

ブラーマグプタの公式

面積は $4$ 辺だけから求められます。 $s = \dfrac{a + b + c + d}{2}$ として次のとおりです³。

S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

この四角形では $S = 42$ になり、シューレースの公式で $\dfrac{1}{2}(20 + 24 + 25 + 15) = 42$ と計算した値と一致します。三角形のヘロンの公式を四角形に広げた形で、円に内接する場合にだけ使えます。

グラフの $4$ 本の直線が $4$ 辺、上下 $2$ 本の弧が $4$ 頂点を通る円で、大きな点は $4$ 頂点と円の中心 $(0, 0)$ です。