y=arccsc⁡xy = \operatorname{arccsc} x

逆余割 y=arccsc⁡xy = \operatorname{arccsc} x

arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x（逆余割）は、余割 csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \dfrac{1}{\sin x} の逆関数です1。arcsin⁡\arcsin に合わせて値域を [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] にとるのがふつうで、arcsec⁡\operatorname{arcsec} と対をなします。

定義と閉形式

csc⁡y=x\csc y = x は sin⁡y=1x\sin y = \dfrac{1}{x} と同じですから、次のように書けます。

arccsc⁡x=arcsin⁡1x\operatorname{arccsc} x = \arcsin\frac{1}{x}

arcsin⁡\arcsin の定義域が [−1,1][-1, 1] なので、∣x∣≥1|x| \geq 1 が定義域になります。

定義域と値域

  • 定義域は x≤−1x \leq -1 または x≥1x \geq 1
  • 値域は [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] から 00 を除いたもの
  • x=1x = 1 のとき y=π2y = \dfrac{\pi}{2}、x=−1x = -1 のとき y=−π2y = -\dfrac{\pi}{2}

値 00 をとるには 1x=0\dfrac{1}{x} = 0 が必要なので、そこには届きません。

対称性と漸近線

arcsin⁡\arcsin が奇関数で 1x\dfrac{1}{x} も奇関数なので、合成したこの関数も奇関数です。グラフは原点に関して点対称ですが、原点そのものは定義域の外にあります。

x→±∞x \to \pm\infty で y→0y \to 0 となるため xx 軸が水平漸近線で、右の枝は上から、左の枝は下から近づきます。値 00 は決してとらないので、二つの枝が xx 軸を挟んだまま伸びていく形になります。

特徴的な値

xx1x\dfrac{1}{x}arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x
−1-1−1-1−π2-\dfrac{\pi}{2}
−2-2−12-\dfrac{1}{2}−π6-\dfrac{\pi}{6}
2\sqrt{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}π4\dfrac{\pi}{4}
2212\dfrac{1}{2}π6\dfrac{\pi}{6}
1111π2\dfrac{\pi}{2}

増減と接線

導関数は次のとおりです。

ddxarccsc⁡x=−1∣x∣x2−1\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}

定義域上つねに負ですから、どちらの枝でも単調に減少します。arcsec⁡\operatorname{arcsec} の導関数と符号だけが違い、これは arccos⁡\arccos と arcsin⁡\arcsin の関係がそのまま移ったものです。∣x∣→1|x| \to 1 では導関数が発散するので、端点 (1,π2)\left(1, \dfrac{\pi}{2}\right) と (−1,−π2)\left(-1, -\dfrac{\pi}{2}\right) での接線は垂直になります。

逆正割との関係

arcsec⁡x+arccsc⁡x=π2\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}

arccos⁡u+arcsin⁡u=π2\arccos u + \arcsin u = \dfrac{\pi}{2} に u=1xu = \dfrac{1}{x} を代入した形です。したがって arcsec⁡\operatorname{arcsec} が下から π2\dfrac{\pi}{2} に近づくところで arccsc⁡\operatorname{arccsc} は上から 00 に近づき、二つのグラフは直線 y=π4y = \dfrac{\pi}{4} に関して折り返しの関係にあります。

逆三角関数の全体像

これで逆三角関数は六つが出そろいます。もとの三角関数の値域が、そのまま逆関数の定義域へ移ってきています。

関数定義域値域
arcsin⁡x\arcsin x[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]
arccos⁡x\arccos x[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡x\arctan x実数全体(−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)
arccot⁡x\operatorname{arccot} x実数全体(0,π)(0, \pi)
arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x∣x∣≥1|x| \geq 1[0,π][0, \pi] から π2\dfrac{\pi}{2} を除く
arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x∣x∣≥1|x| \geq 1[−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] から 00 を除く

このうち主値の取り方が流儀によって割れるのは arccot⁡\operatorname{arccot} だけで、残りの五つは広く合意があります。

  1. Inverse trigonometric functions、Wikipedia