関数 $y = \dfrac{\ln x}{x}$ のグラフ

$y = \dfrac{\ln x}{x}$ は対数関数を一次関数で割った形です。分子はゆっくりとしか増えないので、やがて分母に追い抜かれて全体は $0$ へ戻ります。その途中に現れる最大値が、$e$ という数の性質を端的に表しています。

定義域と値域

定義域は $x > 0$ です。$x \to 0^{+}$ では分子が $-\infty$、分母が $0^{+}$ なので $y \to -\infty$、$x \to \infty$ では $y \to 0^{+}$ となります。最大値は $\dfrac{1}{e}$ なので、値域は $y \leq \dfrac{1}{e}$ です。

漸近線と切片

$y$ 軸が垂直漸近線、$x$ 軸が水平漸近線です。ただし右へ向かうときは $x$ 軸の上側から近づきます。$\ln x = 0$ より $x$ 切片は $(1, 0)$ で、$0 < x < 1$ では $y < 0$、$x > 1$ では $y > 0$ になります。

増減と極値

商の微分から導関数を求めます。

分母は正なので符号は $1 - \ln x$ で決まり、$x < e$ では正、$x > e$ では負になります。したがって $x = e$ で極大かつ最大となり、値は $\dfrac{1}{e}$ です。最大点は $\left( e, \dfrac{1}{e} \right) \approx (2.718, 0.368)$ です。

凹凸と変曲点

二階導関数は $y'' = \dfrac{2\ln x - 3}{x^3}$ です。分母は正なので符号は $2\ln x - 3$ で決まり、$x = e^{3/2} \approx 4.482$ の前後で上に凸から下に凸へ切り替わります。そこが唯一の変曲点で、値は $\dfrac{3}{2}e^{-3/2} \approx 0.335$ です。

$e^{\pi}$ と $\pi^{e}$ の大小

最大値が $x = e$ にあることから、有名な大小比較が導かれます。$x \neq e$ なら $\dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{1}{e}$ です。$x = \pi$ とすると次のようになります。

実際 $\pi^{e} \approx 22.459$、$e^{\pi} \approx 23.141$ です。同じ議論から、$e \leq a < b$ ならつねに $a^{b} > b^{a}$ が成り立ちます。

$\sqrt[n]{n}$ との関係

$x^{1/x} = e^{(\ln x)/x}$ ですから、この関数の最大点は $x^{1/x}$ の最大点でもあり、$x = e$ で $e^{1/e} \approx 1.445$ が最大です。

整数のうち $e$ にもっとも近いのは $3$ なので、数列 $\sqrt[n]{n}$ は $n = 3$ で最大になります。グラフが $0$ へ近づくのに合わせて、$n \to \infty$ では $\sqrt[n]{n} \to 1$ です。

積分

$t = \ln x$ と置換すると、きれいな形になります。