回転体の体積

曲線を軸のまわりに回してできる立体の体積も、定積分で求まります¹。 $y = \sqrt{x}$ の $0 \leq x \leq 4$ の部分を $x$ 軸のまわりに回します。

薄い円盤を足し上げる

$x$ のところで軸に垂直に切ると、切り口は半径 $f(x)$ の円で、面積は $\pi f(x)^2$ です。厚みを $dx$ として足し上げます。

V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx

断面積を足すという形は、面積のときに縦の線分を足したことの一段上にあたります。

$f(x) = \sqrt{x}$ では $f(x)^2 = x$ なので、計算は簡単です。

V = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8\pi \approx 25.13

平方根が $2$ 乗で消えるので、放物線を回した立体の体積は $1$ 次関数の積分だけで出ます。

$f(x)^2 = x$ が直線なので、断面積が $0$ から一定の割合で増えることに対応しています。

$y$ 軸のまわりに回すときは、 $x$ について解いてから同じ式を使います。 $x = y^2$ を $0 \leq y \leq 2$ で回します。

V = \pi \int_0^2 y^4\,dy = \frac{32\pi}{5}

回す軸が変われば、体積も変わります。

$2$ つの曲線 $f$ と $g$ （ $f \geq g$ ）の間を回すと、外側から内側を引きます。

V = \pi \int \left( f^2 - g^2 \right) dx

面積のときに上から下を引いたのと同じ形です。パラボラアンテナや器の容積の計算は、この形で書けます。

グラフの上下 $2$ 本の曲線が $y = \pm\sqrt{x}$ で、回転させる前の輪郭を表します。大きな点は回転体の端の縁です。