y = \operatorname{arsech} x

逆双曲線正割 $y = \operatorname{arsech} x$

$\operatorname{arsech} x$ （逆双曲線正割）は、双曲線正割 $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$ の逆関数です¹。 $\operatorname{sech}$ は偶関数なので実数全体では一対一になりません。そこで $x \geq 0$ の部分に制限すると、値が $1$ から $0$ へ単調に減るので逆関数が定まります。

定義と閉形式

$\operatorname{sech} y = x$ は $\cosh y = \dfrac{1}{x}$ と同じですから、 $\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh}\dfrac{1}{x}$ です。対数で書くと次のようになります。

\operatorname{arsech} x = \ln\frac{1 + \sqrt{1-x^{2}}}{x}

定義域と値域

定義域は $0 < x \leq 1$
値域は $y \geq 0$
単調に減少する
偶でも奇でもない

$\operatorname{sech}$ の値域が $(0, 1]$ だったので、逆関数の定義域はその区間になります。 $x = 1$ のとき $y = 0$ で、 $x \to 0^{+}$ では $\ln\dfrac{2}{x} \to +\infty$ となるため、 $y$ 軸が垂直漸近線です。

増減

導関数は次のとおりです。

\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}

定義域上つねに負ですから単調に減少します。 $x \to 1^{-}$ では $\sqrt{1-x^{2}} \to 0$ より導関数が発散するので、点 $(1, 0)$ での接線は垂直です。曲線は右端で縦に立ち上がり、左へ向かって $y$ 軸に沿って伸びていきます。

凹凸

二階導関数は $\dfrac{1-2x^{2}}{x^{2}(1-x^{2})^{3/2}}$ です。分母は正なので符号は $1-2x^{2}$ で決まり、 $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の前後で切り替わります。変曲点はこの一点だけで、そこでの値は $\operatorname{arcosh}\sqrt{2} = \ln(1+\sqrt{2}) \approx 0.881$ です。左側では下に凸、右側では上に凸になります。

特徴的な値

$x$	$\operatorname{arsech} x$
$0.1$	$\approx 2.9932$
$0.5$	$\ln(2+\sqrt{3}) \approx 1.3170$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\ln(1+\sqrt{2}) \approx 0.8814$
$1$	$0$

他の逆双曲線関数との違い

関数	定義域
$\operatorname{arsinh} x$	すべての実数
$\operatorname{arcosh} x$	$x \geq 1$
$\operatorname{artanh} x$	$-1 < x < 1$
$\operatorname{arsech} x$	$0 < x \leq 1$

$\operatorname{arsech}$ だけが有界な区間を受けもちます。もとの $\operatorname{sech}$ が偶関数で有界だったことが、逆関数の側では定義域の狭さと、値を正に限る制限として現れています。

追跡線との関係

追跡線（トラクトリックス）は次の式で与えられますが、第一項がまさにこの関数です²。

y = \ln\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} - \sqrt{1-x^{2}} = \operatorname{arsech} x - \sqrt{1-x^{2}}

長さ一定のひもで引かれる物体の軌跡が、逆双曲線正割から半円を引いた形になっているわけです。追跡線を回転させた擬球が負の定曲率をもつことと合わせて、この関数は非ユークリッド幾何の側からも顔を出します。

Inverse hyperbolic functions、Wikipedia
Tractrix、Wikipedia

逆双曲線正割 y=arsech⁡xy = \operatorname{arsech} xy=arsechx