微分積分学の基本定理

微分と積分は互いに逆の操作です。それを述べたのが微分積分学の基本定理です¹。 $f(x) = x^2$ で見ていきます。

面積を関数として見る

$0$ から $x$ までの面積を、 $x$ の関数として考えます。

F(x) = \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}

この $F$ を微分すると $F'(x) = x^2 = f(x)$ に戻ります。面積を表す関数を微分すると、もとの関数が出てくるということです。

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)

理由は面積の増え方を見れば分かります。 $x$ が $h$ だけ増えると、面積は幅 $h$ 、高さ約 $f(x)$ の細長い部分だけ増えます。増加分は約 $f(x) h$ なので、 $h$ で割って $h \to 0$ とすれば $f(x)$ が残ります。

$F$ を $f$ の原始関数とすると、定積分の計算方法が得られます。

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

面積を細かく足し上げる代わりに、原始関数の差を $1$ 回引くだけで済みます。 $\int_1^2 x^2 dx = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ のとおりです。

$f$ の高さが、 $F$ の傾きになっています。

$f$ の符号が $F$ の増減を決めるという関係も、この定理の言い換えです。

グラフの放物線が $y = x^2$ 、 $3$ 次曲線が面積を表す $y = \dfrac{x^3}{3}$ で、大きな点は $f(1) = 1$ の点と $F(1) = \dfrac{1}{3}$ の点です。