導関数のグラフと符号
導関数のグラフを重ねると、もとの関数の増減がそのまま読めます。f(x)=x3−3x と f′(x)=3x2−3 を並べます。
符号と増減
f′(x)=3(x−1)(x+1) なので、符号は次のように変わります。
| 範囲 | f′(x) | f の増減 |
|---|
| x<−1 | 正 | 増加 |
| −1<x<1 | 負 | 減少 |
| x>1 | 正 | 増加 |
f′ が x 軸を横切る x=−1 と x=1 が、f の極値の場所です。f(−1)=2 が極大値、f(1)=−2 が極小値になります。
値の大きさは傾きの急さ
f′ の値そのものは接線の傾きです。
| x | f′(x) | f のグラフの様子 |
|---|
| −1 | 0 | 接線が水平（極大） |
| 0 | −3 | 傾き −3 で原点を通る |
| 1 | 0 | 接線が水平（極小） |
| 2 | 9 | 急に立ち上がる |
f′ が最小になるのも x=0 で、そこが f の傾きが最も小さい点、つまり変曲点にあたります。
対称性
f は奇関数なので原点について点対称、f′ は偶関数なので y 軸について線対称です。微分すると偶関数と奇関数が入れ替わります。
x 軸との交点
f(x)=x(x2−3) と因数分解できるので、f が x 軸と交わるのは x=0 と x=±3 の 3 点です。極大値が正、極小値が負なので、3 回横切ることは増減からも確かめられます。
もう一度微分する
f′′(x)=6x で、x=0 で符号が変わります。f の凹凸が原点で入れ替わることと、f′ が原点で最小になることは、同じ事実の別の言い方です。
符号の変化まで見る
f′=0 となる点は極値の候補にすぎません。f(x)=x3 では f′(0)=0 ですが、f′ の符号が変わらないので極値になりません。符号の変化まで見る必要があります。
グラフの 3 次曲線が y=x3−3x、放物線が導関数 y=3x2−3 で、大きな点は極大点 (−1,2) と極小点 (1,−2) です。