正六角形

すべての辺の長さと内角が等しい六角形を正六角形といいます1。中心が原点、外接円の半径が 44 の正六角形で調べます。頂点は (4,0)(4, 0)、(2,23)(2, 2\sqrt{3})、(−2,23)(-2, 2\sqrt{3})、(−4,0)(-4, 0)、(−2,−23)(-2, -2\sqrt{3})、(2,−23)(2, -2\sqrt{3}) です。

内角

内角の和は (6−2)×180∘=720∘(6 - 2) \times 180^\circ = 720^\circ なので、11 つの内角は 120∘120^\circ です。

66 つの正三角形に分かれる

中心と 66 頂点を結ぶと、正六角形は 66 個の三角形に分かれます。中心のまわりの角は 360∘6=60∘\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ ずつで、残る 22 辺はどちらも半径なので、どの三角形も正三角形です。

だから一辺の長さは外接円の半径と等しく、ここでは 44 になります。隣り合う 22 頂点の距離を計算しても (4−2)2+(0−23)2=16=4\sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16} = 4 で一致します。

面積

一辺 aa の正三角形の面積は 34a2\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 なので、その 66 個ぶんになります。

S=6×34a2=332a2=332×16=243S = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16 = 24\sqrt{3}

41.5741.57 ほどです。

主な量

量式値
一辺a=Ra = R44
内接円の半径32a\dfrac{\sqrt{3}}{2}a23≈3.462\sqrt{3} \approx 3.46
周の長さ6a6a2424
面積332a2\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2243≈41.5724\sqrt{3} \approx 41.57

中心から辺までの距離は、正三角形の高さにあたる 232\sqrt{3} です。上下の辺が y=±23y = \pm 2\sqrt{3} という水平な直線になっているのは、このためです。この距離は内接円の半径でもあります。

周と円周

外接円の周は 2π×4=25.132\pi \times 4 = 25.13 なので、正六角形の周は円周の 9595 パーセントほどにあたります。正多角形の周から π\pi を近似する方法は、この差を分割数で詰めていく考え方です。

対角線

結び方例長さ
11 つ飛ばし(4,0)(4, 0) と (−2,23)(-2, 2\sqrt{3})434\sqrt{3}
向かい合う頂点(4,0)(4, 0) と (−4,0)(-4, 0)88

後者は外接円の直径にあたります。

平面を敷き詰める

正六角形は、正三角形と正方形に並んで、平面を隙間なく敷き詰められる図形です。同じ面積を囲むのに必要な周の長さがこの 33 つのうちで最も短く、蜂の巣がこの形をとる理由になっています2。

グラフの 66 本の直線が 66 辺、上下 22 本の弧が外接円で、大きな点は 66 頂点と中心です。

  1. Hexagon、Wikipedia
  2. Honeycomb conjecture、Wikipedia