平均変化率と微分係数

平均変化率は、区間の両端を結んだ直線の傾きです¹。 $f(x) = x^2$ の区間 $[1, 2]$ で計算します。

\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{4 - 1}{1} = 3

この $3$ は、 $2$ 点 $(1, 1)$ 、 $(2, 4)$ を通る直線、すなわち割線の傾きそのものです。その直線は $y = 3x - 2$ です。

区間を縮めていく

区間の右端を $1$ に近づけると、割線の傾きはどう変わるでしょうか。区間 $[1, 1 + h]$ の平均変化率を計算します。

\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{h} = 2 + h

この極限の値を $x = 1$ における微分係数といい、 $f'(1)$ と書きます。

f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = 2

微分係数は、その点での接線の傾きです。 $(1, 1)$ を通る傾き $2$ の直線は $y = 2x - 1$ で、グラフでは放物線に $1$ 点で触れています。割線は $2$ 点で交わり、接線は触れるだけという違いがあります。

同じ計算を一般の $x = a$ で行うと $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ となり、 $h \to 0$ で $2a$ に近づきます。区間を潰していく操作が、そのまま導関数を作る操作になっています。

どの $x$ でも同じ計算ができるので、微分係数は $x$ の関数になります。 $f(x) = x^2$ では $f'(x) = 2x$ で、これを導関数といいます。 $x = 1$ を入れると $2$ 、 $x = 2$ を入れると $4$ で、放物線が右へ行くほど急になることと合っています。

グラフの放物線が $y = x^2$ 、 $2$ 点を通る直線が割線、放物線に接する直線が接線で、大きな点は $(1, 1)$ と $(2, 4)$ です。