三角形の内接円

三角形の $3$ 辺すべてに接する円を内接円といい、その中心を内心と呼びます¹。頂点 $A(0, 0)$ 、 $B(5, 0)$ 、 $C(3.2, 2.4)$ の三角形で求めます。

辺の長さ

$3^2 + 4^2 = 5^2$ が成り立つので、 $C$ を直角とする直角三角形です。

内心は $3$ つの内角の二等分線の交点です。角の二等分線上の点は、その角をはさむ $2$ 辺から等距離にあります。だから $2$ 本の二等分線の交点は $3$ 辺すべてから等距離にあり、残る $1$ 本も必ずそこを通ります。その等距離が内接円の半径です。

内心と $3$ 頂点を結ぶと、三角形は底辺が各辺、高さが $r$ の $3$ つの三角形に分かれます。

\begin{align*} S &= \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = rs \\ s &= \frac{a + b + c}{2} \end{align*}

ここでは $S = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ 、 $s = 6$ なので $r = \dfrac{S}{s} = 1$ です。

直角三角形なら、斜辺を $c$ として $r = \dfrac{a + b - c}{2}$ でも求められます。 $\dfrac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ で一致します。

内心の座標は、向かい合う辺の長さを重みにした加重平均です。 $a = BC$ 、 $b = CA$ 、 $c = AB$ として次のようになります。

I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c} = \frac{3(0,\, 0) + 4(5,\, 0) + 5(3.2,\, 2.4)}{12} = (3,\, 1)

内接円は $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$ になります。中心の $y$ 座標 $1$ は、そのまま辺 $AB$ までの距離なので、半径が $1$ であることがグラフから読み取れます。

内心は必ず三角形の内側にあります。 $3$ 辺から等距離という条件は、内側でしか満たされないからです。

グラフの $3$ 本の直線が $3$ 辺、上下 $2$ 本の弧が内接円で、大きな点は $3$ 頂点と内心 $(3, 1)$ です。