一次近似

接線は、接点の近くで曲線の代わりに使えます¹。 $f(x) = \sqrt{1 + x}$ を $x = 0$ のまわりで近似します。

接線を求める

$f(0) = 1$ 、 $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}}$ より $f'(0) = \dfrac{1}{2}$ なので、接線は次の直線です。

y = 1 + \frac{x}{2}

一般には $x = a$ のまわりで $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ と近似します。これを一次近似といいます。

$x$	$\sqrt{1+x}$	近似 $1 + \dfrac{x}{2}$	誤差
$0.01$	$1.0049876$	$1.005$	$0.0000124$
$0.1$	$1.048809$	$1.05$	$0.0012$
$1$	$1.41421$	$1.5$	$0.086$

$x$ を $10$ 分の $1$ にすると誤差は $100$ 分の $1$ になります。誤差が $(x - a)^2$ の程度だからです。離れると崩れるので、使えるのは接点の近くだけです。

$\sqrt{101} = 10\sqrt{1.01} \approx 10 \times 1.005 = 10.05$ で、正しい値 $10.049876$ にごく近い数が暗算で出ます。

もとの式が扱いにくくても、小さい範囲では直線や $2$ 次式で置きかえられます。

項を足すと精度が上がります。

\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}

$x = 1$ での誤差は $0.086$ から $0.039$ に縮みます。この続きがテイラー展開で、 $2$ 次の項の係数 $-\dfrac{1}{8}$ は $\dfrac{f''(0)}{2}$ から出てきます²。

グラフの曲線が $y = \sqrt{1 + x}$ 、直線が接線 $y = 1 + \dfrac{x}{2}$ で、大きな点が接点 $(0, 1)$ です。