一次分数関数 $y = \dfrac{x+1}{x-1}$ のグラフ

$y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ は、分子と分母がともに一次式である一次分数関数です。一般形 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$（$c \neq 0$、$ad - bc \neq 0$）にあたり、この関数では $ad - bc = -2$ です。$ad - bc = 0$ だと分子が分母の定数倍になり、グラフはただの水平な直線に潰れてしまいます。

標準形への変形

分子を分母で割ると、次のように書き直せます。

つまりこのグラフは、反比例 $y = \dfrac{2}{x}$ を $x$ 方向に $1$、$y$ 方向に $1$ だけ平行移動した直角双曲線です。一次分数関数のグラフがつねに反比例の平行移動になることが、この変形から見てとれます。

定義域と値域

定義域は $x \neq 1$ です。$\dfrac{2}{x - 1}$ は決して $0$ にならないので、値域は $y \neq 1$ となります。とれない値が、そのまま漸近線の位置になっています。

漸近線と対称性

垂直漸近線は $x = 1$、水平漸近線は $y = 1$ で、その交点 $(1, 1)$ が双曲線の中心です。中心から左右に同じだけ離れた点の値を調べます。

$2$ つを足すと $2$、すなわち中心の高さの $2$ 倍になるので、中心 $(1, 1)$ に関して点対称です。$2$ 本の漸近線は直交しているので、直角双曲線になります。

増減と凹凸

導関数は $f'(x) = -\dfrac{2}{(x - 1)^2}$ で、定義域上つねに負です。したがって $x < 1$ と $x > 1$ のそれぞれで単調に減少し、極値はもちません。二階導関数は $f''(x) = \dfrac{4}{(x - 1)^3}$ なので、$x > 1$ では下に凸、$x < 1$ では上に凸になります。

切片と通る点

逆関数

$y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ を $x$ について解きます。両辺に $x - 1$ を掛けて整理すると $x(y - 1) = y + 1$ となり、次が得られます。

つまり逆関数はもとの関数と同じ式で、$f(f(x)) = x$ が成り立ちます。このように $2$ 回施すともとに戻る関数を対合といいます。$(2, 3)$ と $(3, 2)$ をどちらも通ることは、グラフが直線 $y = x$ に関して対称であることの現れです。

応用

一次分数関数は、$2$ つの量が反比例に近い形で結びつく場面に現れます。レンズの公式 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}$ を像までの距離 $b$ について解くと、次の形になります。

物体を焦点に近づけると像が無限遠へ飛んでいく様子が、垂直漸近線として現れます。複素数へ拡張したものはメビウス変換と呼ばれ、円と直線を円と直線へ移す変換として複素解析や幾何学で使われます。