分数関数 $y = 1/x^3$ のグラフ

$y = \dfrac{1}{x^3}$ は、べき関数 $y = x^n$ で $n = -3$ とした分数関数です。反比例 $y = \dfrac{1}{x}$ と同じく原点に関して点対称ですが、分母の次数が上がるぶん、原点の近くではより急に立ち上がり、遠方ではより速く $0$ へ近づきます。

定義域と値域

分母が $0$ になる $x = 0$ を除いたすべての実数が定義域です。$\dfrac{1}{x^3}$ は決して $0$ にならないので、値域は $0$ を除いたすべての実数になります。

対称性

$f(-x) = -f(x)$ より奇関数です。$x > 0$ では $y > 0$、$x < 0$ では $y < 0$ なので、曲線は第 $1$ 象限と第 $3$ 象限にだけ現れます。

指数が偶数か奇数かで、乗る象限が変わります。

増減

導関数は次のようになります。

$x^4$ は $x \neq 0$ でつねに正なので $f'(x)$ はつねに負となり、$x < 0$ と $x > 0$ のそれぞれで単調に減少します。極大も極小もありません。ただし定義域全体で減少しているわけではない点に注意してください。$f(-1) = -1$ に対して $f(1) = 1$ で、$x = 0$ をまたぐと値はむしろ上がります。減少は $y$ 軸でいったん切れています。

凹凸

二階導関数は $f''(x) = \dfrac{12}{x^5}$ で、$x > 0$ では正、$x < 0$ では負です。したがって右半分は下に凸、左半分は上に凸になります。符号が変わるのは $x = 0$ ですが、そこは定義域の外なので変曲点はもちません。

漸近線

$x \to 0^{+}$ では $y \to +\infty$、$x \to 0^{-}$ では $y \to -\infty$ となり、$y$ 軸が垂直漸近線です。$x \to \pm\infty$ では $y \to 0$ となるので、$x$ 軸が水平漸近線になります。

反比例との比較

$2$ つのグラフは $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ で交わります。$\dfrac{1}{x^3} = \dfrac{1}{x}$ を解くと $x^2 = 1$ となるからです。

$|x| > 1$ では $\dfrac{1}{x^3}$ のほうが $0$ に近く、$0 < |x| < 1$ では逆に大きく振れます。

逆関数

$y = \dfrac{1}{x^3}$ を $x$ について解くと $x = \dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}$ なので、逆関数は $y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$ です。$y = \dfrac{1}{x}$ が自分自身を逆関数にもつのとは違い、この関数は別の関数へ移ります。

積分と応用

不定積分は次のようになります。

無限に伸びる範囲でも $\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^3} = \dfrac{1}{2}$ と有限の値に収まる一方、原点を含む $\int_0^1 \dfrac{dx}{x^3}$ は発散します。裾は軽いのに、原点の近くの立ち上がりが急すぎるからです。物理では距離の $3$ 乗に反比例する量としてこの形が現れ、電気双極子や磁気双極子がつくる場、月や太陽が地球に及ぼす潮汐力がその例です。