放物線と直線が囲む面積

放物線と直線が囲む面積は、交点の間隔だけで決まります。 $y = x^2$ と $y = 2x + 3$ で確かめます。

交点を求める

$x^2 = 2x + 3$ 、つまり $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0$ より $x = -1$ と $x = 3$ です。座標は $(-1, 1)$ と $(3, 9)$ になります。

そのまま積分する

この区間では直線が上なので、面積は次のようになります。

\int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2) \, dx = \left[ x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{3} = 9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = \frac{32}{3}

交点の間隔だけから出す

交点を $\alpha$ 、 $\beta$ （ $\alpha < \beta$ ）とすると、被積分関数は $-(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

\int_{\alpha}^{\beta} -(x - \alpha)(x - \beta) \, dx = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6}

ここでは $\dfrac{(3 - (-1))^3}{6} = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}$ で一致します。これを $\dfrac{1}{6}$ 公式といいます。

求め方	計算	結果
原始関数から	$9 - \left( -\dfrac{5}{3} \right)$	$\dfrac{32}{3}$
$\dfrac{1}{6}$ 公式	$\dfrac{4^3}{6}$	$\dfrac{32}{3}$

係数がある場合

$x^2$ の係数が $1$ でない場合は、その分だけ倍になります。 $y = ax^2 + bx + c$ と直線の囲む面積は $\dfrac{|a| (\beta - \alpha)^3}{6}$ です。放物線どうしが囲む面積でも、 $x^2$ の係数の差を $a$ として同じ形の公式が使えます。

$3$ 乗で増える

面積が間隔の $3$ 乗で増えるところが面白い点です。

交点の間隔	面積（係数 $1$ ）
$1$	$\dfrac{1}{6}$
$2$	$\dfrac{8}{6}$
$4$	$\dfrac{64}{6}$

間隔が $2$ 倍になると面積は $8$ 倍になります。

交点を求めた時点で答えが出るので、原始関数を計算する必要はありません。 $-1$ と $3$ という値が分かれば、 $\dfrac{4^3}{6}$ を計算するだけで済みます。

グラフの放物線が $y = x^2$ 、直線が $y = 2x + 3$ で、大きな点は交点です。