双曲線余割関数 $y = \operatorname{csch} x$ のグラフ

双曲線余割関数 $y = \operatorname{csch} x$ は、双曲線正弦の逆数として定義されます¹。

三角関数の余割 $\csc x$ に対応する双曲線関数です。双曲線正割 $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$ と対をなしますが、$\cosh x$ が決して $0$ にならないのに対し $\sinh x$ は原点で $0$ になるため、性質はまったく違ってきます。

定義域と値域

• 定義域は $x \neq 0$
• 値域は $y \neq 0$
• 各枝で単調に減少する
• 奇関数

$\operatorname{sech}$ が全実数で定義され値域が $(0, 1]$ に収まる有界な関数だったのとは対照的に、こちらは定義域が二つに割れ、値も限りなく大きくなります。

対称性と符号

$\sinh$ が奇関数なので、その逆数であるこの関数も奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。$x > 0$ では $y > 0$、$x < 0$ では $y < 0$ となり、曲線は第 $1$ 象限と第 $3$ 象限に現れます。

増減

導関数は $\dfrac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x \coth x$ です。$x > 0$ では $\operatorname{csch} x$ も $\coth x$ も正なので導関数は負、$x < 0$ では両方とも負なので積が正になり全体では負です。したがってどちらの枝でも単調に減少し、極値はありません。

凹凸と漸近線

二階導関数は $\dfrac{\cosh^{2}x + 1}{\sinh^{3}x}$ で、分子はつねに正ですから符号は $\sinh^{3}x$、すなわち $x$ の符号と一致します。$x > 0$ では下に凸、$x < 0$ では上に凸で、変曲点はありません。

$y$ 軸が垂直漸近線、$x$ 軸が水平漸近線です。

二つの顔

原点の近くでは $\sinh x \approx x$ なので反比例とほとんど区別がつかず、遠方では指数的に $0$ へ落ちます。

実際 $\operatorname{csch}(0.001) \approx 999.9998$ で、$\dfrac{1}{x} = 1000$ とほぼ同じです。原点付近は反比例、遠方は指数減衰という二つの顔をもつ関数です。

恒等式と積分

三角関数の $\csc^{2}\theta - \cot^{2}\theta = 1$ に対応して、次が成り立ちます。

また $\coth x - \operatorname{csch} x = \tanh\dfrac{x}{2}$ という半角の関係もあります。不定積分は三角関数の場合とそのまま対応しています。

1. Hyperbolic functions、Wikipedia