y=gd⁡x=arcsin⁡(tanh⁡x)y = \operatorname{gd} x = \arcsin(\tanh x)

グーデルマン関数 y=gd⁡xy = \operatorname{gd} x のグラフ

y=gd⁡x=arcsin⁡(tanh⁡x)y = \operatorname{gd} x = \arcsin(\tanh x) はグーデルマン関数と呼ばれ、三角関数と双曲線関数を複素数を使わずに結びつける関数です1。1919 世紀のドイツの数学者グーデルマンにちなみます。地図のメルカトル図法における緯度そのものでもあります。

定義域と値域

  • 定義域はすべての実数
  • 値域は −π2<y<π2-\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}
  • 単調に増加する
  • 奇関数

tanh⁡x\tanh x の値域が (−1,1)(-1, 1) なので arcsin⁡\arcsin の中身は必ず定義域に収まります。y=±π2y = \pm\dfrac{\pi}{2} が水平漸近線で、値はそこに限りなく近づきますが決して届きません。

対称性と増減

tanh⁡\tanh も arcsin⁡\arcsin も奇関数なので、合成したこの関数も奇関数で、原点に関して点対称です。導関数は次のように簡単な形になります。

ddxarcsin⁡(tanh⁡x)=11−tanh⁡2x⋅sech⁡2x=sech⁡2xsech⁡x=sech⁡x\begin{align*} \frac{d}{dx}\arcsin(\tanh x) &= \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 x}} \cdot \operatorname{sech}^2 x \\ &= \frac{\operatorname{sech}^2 x}{\operatorname{sech} x} = \operatorname{sech} x \end{align*}

つまり gd⁡′(x)=sech⁡x\operatorname{gd}'(x) = \operatorname{sech} x で、積分によって定義することもできます。

gd⁡x=∫0xsech⁡t dt\operatorname{gd} x = \int_0^{x} \operatorname{sech} t\,dt

sech⁡x\operatorname{sech} x はつねに正なので単調に増加します。原点での傾きは sech⁡0=1\operatorname{sech} 0 = 1 なので、グラフは原点で直線 y=xy = x に接します。

凹凸

二階導関数は y′′=−sech⁡xtanh⁡xy'' = -\operatorname{sech} x \tanh x で、符号は xx の符号の逆です。x<0x < 0 では下に凸、x>0x > 0 では上に凸で、変曲点は原点ただ一つです。

三角関数と双曲線関数の橋渡し

この関数の要点は、θ=gd⁡x\theta = \operatorname{gd} x とおいたときに成り立つ一連の等式です。

三角関数の側双曲線関数の側
sin⁡θ\sin\thetatanh⁡x\tanh x
cos⁡θ\cos\thetasech⁡x\operatorname{sech} x
tan⁡θ\tan\thetasinh⁡x\sinh x
sec⁡θ\sec\thetacosh⁡x\cosh x

これらがすべて同時に成立します。双曲線関数を複素数の助けなしに三角関数へ翻訳する辞書になっているわけです。

逆関数と正割の積分

逆関数は gd⁡−1(y)=artanh⁡(sin⁡y)\operatorname{gd}^{-1}(y) = \operatorname{artanh}(\sin y) ですが、これは次のようにも書けます。

gd⁡−1(y)=ln⁡(sec⁡y+tan⁡y)\operatorname{gd}^{-1}(y) = \ln(\sec y + \tan y)

右辺は積分 ∫sec⁡y dy=ln⁡∣sec⁡y+tan⁡y∣+C\int \sec y\,dy = \ln|\sec y + \tan y| + C の主要部にほかなりません。正割の積分という、公式集で唐突に見える式の正体がこの関数だということです。

メルカトル図法

メルカトル図法では、緯度 φ\varphi の地点が地図の縦座標 ∫0φsec⁡t dt\int_0^{\varphi} \sec t\,dt に描かれます2。これは gd⁡−1(φ)\operatorname{gd}^{-1}(\varphi) ですから、逆に地図の縦座標 xx に対応する緯度は gd⁡x\operatorname{gd} x です。

xx（地図の縦座標）gd⁡x\operatorname{gd} x（ラジアン）緯度
00000∘0^\circ
11≈0.8657\approx 0.8657≈49.60∘\approx 49.60^\circ
22≈1.3018\approx 1.3018≈74.58∘\approx 74.58^\circ
π\pi≈1.4842\approx 1.4842≈85.05∘\approx 85.05^\circ

原点付近で y=xy = x に接するのは赤道付近でひずみが小さいこと、両端で ±π2\pm\dfrac{\pi}{2} に漸近するのは極が無限の彼方へ追いやられることに対応します。地図サービスで広く使われるウェブメルカトルが緯度を ±85.05∘\pm 85.05^\circ で打ち切るのは、地図を正方形にするために x=±πx = \pm\pi で切っているからです。

  1. Gudermannian function、Wikipedia
  2. Mercator projection、Wikipedia