ロジット関数 $y = \ln\dfrac{x}{1-x}$ のグラフ

$y = \ln\dfrac{x}{1-x}$ はロジット関数と呼ばれ、$0$ と $1$ のあいだの確率を実数全体へ引き伸ばす関数です。ロジスティック関数の逆関数にあたり、統計や機械学習で確率を扱うときの標準的な道具になっています。

定義域と値域

真数が正である必要があるので $\dfrac{x}{1-x} > 0$、すなわち $0 < x < 1$ が定義域です。$x \to 0^{+}$ では $-\infty$、$x \to 1^{-}$ では $+\infty$ へ発散するので、値域はすべての実数になります。幅 $1$ の区間が実数直線全体へ引き伸ばされる、という点がこの関数の役割そのものです。

漸近線と切片

$2$ 直線 $x = 0$ と $x = 1$ が垂直漸近線です。$\dfrac{x}{1-x} = 1$ となるのは $x = \dfrac{1}{2}$ のときなので、$x$ 切片は $\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)$ の $1$ 点です。

対称性

$f(1-x) = \ln\dfrac{1-x}{x} = -f(x)$ が成り立ちます。したがってグラフは点 $\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)$ に関して点対称です。確率 $x$ と余事象の確率 $1-x$ とで、値の符号だけが入れ替わることを意味しています。

増減と凹凸

$y = \ln x - \ln(1-x)$ と分けて微分します。

定義域上つねに正なので単調に増加し、極値はありません。$x(1-x)$ は $x = \dfrac{1}{2}$ で最大の $\dfrac{1}{4}$ をとるので、傾きはそこで最小の $4$ になり、両端へ向かうほど急になります。二階導関数は $y'' = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{(1-x)^2}$ で、$x = \dfrac{1}{2}$ の前後で符号が変わります。変曲点は $\left( \dfrac{1}{2}, 0 \right)$ ただ $1$ つで、そこより左では上に凸、右では下に凸です。

逆関数

$y$ について解くと $e^{y} = \dfrac{x}{1-x}$ から次が得られます。

つまり逆関数はロジスティック関数であり、$2$ つのグラフは直線 $y = x$ に関して対称です。ロジスティック関数が実数全体を $(0, 1)$ へ押し込めるのに対し、ロジットは $(0, 1)$ を実数全体へ引き戻します。

逆双曲線正接との関係

$\operatorname{artanh} t = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+t}{1-t}$ に $t = 2x - 1$ を代入すると $\ln\dfrac{x}{1-x}$ が現れます。すなわち区間 $(0, 1)$ を $(-1, 1)$ に直してから逆双曲線正接をとったものと同じで、$2\operatorname{artanh}(2x-1)$ に等しくなります。

オッズと応用

$\dfrac{x}{1-x}$ は確率 $x$ に対するオッズで、その対数がロジットです。

ロジスティック回帰では、確率そのものではなくロジットを説明変数の一次式で表します。確率のままだと $0$ 以上 $1$ 以下という範囲の制約がつきますが、ロジットに直せばその制約が消え、ふつうの線形モデルとして扱えるからです。ニューラルネットワークで活性化前の値をロジットと呼ぶのも、これに由来します。