導関数と接線

曲線上の $1$ 点で触れる直線を接線といいます¹。導関数がわかれば、接線の式はそのまま書けます。 $f(x) = x^3 - 3x$ の $x = 2$ における接線を求めます。

手順

傾き $9$ で $(2, 2)$ を通る直線なので、次のようになります。

y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 2 + 9(x - 2) = 9x - 16

一般には、 $x = a$ における接線は次の形です。

y = f(a) + f'(a)(x - a)

曲線の種類が変わっても、この順序は変わりません。

接線は接点で曲線に触れる直線ですが、離れた場所で曲線と交わってもかまいません。 $x^3 - 3x = 9x - 16$ を解きます。

x^3 - 12x + 16 = (x - 2)^2(x + 4) = 0

$x = 2$ が重解、 $x = -4$ が別の解です。この接線は $(-4, -52)$ で曲線を横切ります。

接点で重解になることが、接することの代数的な意味です。曲線と直線を連立して重解が出れば接している、という判定はここから来ています。

$f'(2) = 9$ という値は、 $x = 2$ の近くで $x$ が少し増えると $y$ がその $9$ 倍ほど増えることを表します。

$x$	$f(x)$	接線の値
$2$	$2$	$2$
$2.1$	$2.961$	$2.9$

よく近い値です。接線は曲線の一次近似でもあります。

接点で接線に垂直な直線を法線といい、その傾きは $-\dfrac{1}{f'(a)} = -\dfrac{1}{9}$ になります。

接線が水平になるのは $f'(a) = 0$ のときで、この関数では $3x^2 - 3 = 0$ より $x = \pm 1$ 、つまり極大点と極小点です。接線の傾きを調べることが、そのまま増減を調べることになります。

グラフの $3$ 次曲線が $y = x^3 - 3x$ 、直線が接線 $y = 9x - 16$ で、大きな点が接点 $(2, 2)$ です。