関数 $y = x^x$ のグラフ

$y = x^x$ は、底と指数の両方が $x$ である関数です。$x^{a}$ のようなべき関数でも $a^{x}$ のような指数関数でもなく、$x^x = e^{x \ln x}$ と書き直してはじめて素性が見えてきます。

定義域

実数の範囲では $x > 0$ に限られます。$x$ が負だと $e^{x \ln x}$ の対数が定義できず、たとえば $(-0.5)^{-0.5}$ は実数になりません。負の整数では $(-1)^{-1} = -1$ のように値が定まりますが、区間としてつながらないのでグラフには描けません。

原点での振る舞い

$x \to 0^{+}$ では $x \ln x \to 0$ なので、次のようになります。

$0^0$ という不定形が $1$ に落ち着くことが、グラフの左端が高さ $1$ に向かうことに現れています。$x = 0$ は定義域に入らないので、その点は穴になります。

増減と極値

導関数は $y' = x^x(\ln x + 1)$ です。$x^x > 0$ なので符号は $\ln x + 1$ で決まり、$x = \dfrac{1}{e}$ で極小かつ最小になります。最小値は次の値です。

左端の $1$ からいったん $0.692$ まで下がり、そこから増加に転じるという、見た目に意外な形をしています。

凹凸

二階導関数は $y'' = x^x\left[ (\ln x + 1)^2 + \dfrac{1}{x} \right]$ です。角括弧の中は $x > 0$ でつねに正なので全体が下に凸で、変曲点はありません。

増え方

整数点では値がそのまま $n^n$ です。これはどんな指数関数 $a^{x}$ よりも速く増えます。底そのものが大きくなり続けるからです。階乗との関係も深く、スターリングの公式 $n! \approx \sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e} \right)^{n}$ が示すとおり、$n!$ は $\dfrac{n^n}{e^n}$ とほぼ同じ速さで増大します。

新入生の夢

$0$ から $1$ までの定積分には、美しい級数表示があります。

同じように $\int_0^1 x^{-x}\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{n}} \approx 1.2913$ が成り立ちます。積分がそのまま同じ形の級数に化けるので、これらは新入生の夢（sophomore's dream）と呼ばれています。被積分関数を $e^{\pm x \ln x}$ と指数級数に展開し、項ごとに積分すると導けます。

他の関数との関係

指数部分の $x \ln x$ は単独でも調べる価値のある関数で、その最小点がそのまま $x^x$ の最小点になります。また底と指数を入れ替えた $x^{1/x} = e^{(\ln x)/x}$ は、$x = e$ で最大値 $e^{1/e} \approx 1.445$ をとります。

最小と最大が $\dfrac{1}{e}$ と $e$ で対をなしているのが面白いところです。