y=1x2−1y = \dfrac{1}{x^2-1}

有理関数 y=1x2−1y = \dfrac{1}{x^2-1}

y=1x2−1y = \dfrac{1}{x^2 - 1} は、分母が x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) と因数分解できる有理関数です。分母が 00 になる点が 22 つあるため、グラフは 22 本の垂直漸近線によって 33 つの部分に分断されます。定数項の符号が違うだけの y=1x2+1y = \dfrac{1}{x^2 + 1}（アニェージの曲線）が全実数でつながったなめらかな釣鐘形になるのと比べると、対照的な形です。

定義域と値域

x=1x = 1 と x=−1x = -1 を除くすべての実数が定義域です。

xx の範囲x2−1x^2 - 1yy の範囲
∣x∣>1|x| > 1正y>0y > 0
∣x∣<1|x| < 1−1≤x2−1<0-1 \leq x^2 - 1 < 0y≤−1y \leq -1

あわせて値域は y≤−1y \leq -1 または y>0y > 0 となり、−1<y≤0-1 < y \leq 0 の値はとりません。

対称性

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) より偶関数で、グラフは yy 軸に関して対称です。

増減と極値

導関数は次のようになります。

f′(x)=−2x(x2−1)2f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}

分母は定義域上つねに正なので、符号は分子の −2x-2x だけで決まります。x<0x < 0 で増加、x>0x > 0 で減少し、x=0x = 0 で極大値 −1-1 をとります。この点 (0,−1)(0, -1) は中央の区間における山の頂上ですが、グラフ全体の最大値ではありません。両端の区間では yy がいくらでも大きくなるからです。極大が最大とはかぎらないことを、目で確かめられる例になっています。

漸近線

x=1x = 1 と x=−1x = -1 が垂直漸近線です。分母の符号がどちら側から 00 に近づくかで、発散の向きが変わります。

近づけ方分母の符号極限
x→1+x \to 1^{+}正y→+∞y \to +\infty
x→1−x \to 1^{-}負y→−∞y \to -\infty
x→−1+x \to -1^{+}負y→−∞y \to -\infty
x→−1−x \to -1^{-}正y→+∞y \to +\infty

また x→±∞x \to \pm\infty で y→0y \to 0 となるため、xx 軸が水平漸近線です。

凹凸

二階導関数は f′′(x)=6x2+2(x2−1)3f''(x) = \dfrac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3} です。分子はつねに正なので、符号は (x2−1)3(x^2 - 1)^3 すなわち x2−1x^2 - 1 の符号と一致します。外側の 22 つの区間では下に凸、中央の区間では上に凸です。符号が変わるのは x=±1x = \pm 1 ですが、そこは定義域の外なので変曲点はありません。

部分分数分解

この関数は 22 つの反比例の差に分けられます。

1x2−1=12(1x−1−1x+1)\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right)

こう見ると、x=1x = 1 と x=−1x = -1 の近くでそれぞれ一方の項だけが暴れることが分かります。これを使うと積分も求まります。

∫dxx2−1=12ln⁡∣x−1x+1∣+C\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C

この値は ∣x∣<1|x| < 1 では −artanh⁡x-\operatorname{artanh} x、∣x∣>1|x| > 1 では −arcoth⁡x-\operatorname{arcoth} x に一致します。

応用

減衰のない強制振動では、振幅が 1ω02−ω2\dfrac{1}{\omega_0^2 - \omega^2} に比例します。外力の角振動数 ω\omega を固有振動数 ω0\omega_0 に近づけると振幅が限りなく大きくなる共鳴の様子は、この関数の垂直漸近線そのものです。