Gráfica de la función valor absoluto $y = |x|$

$y = |x|$ es la magnitud de $x$ despojada de su signo, es decir, su distancia al origen sobre la recta numérica. Vale $x$ para $x \geq 0$ y $-x$ para $x < 0$, y también puede escribirse $|x| = \sqrt{x^2}$.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Como el valor es una distancia, no es nunca negativo, así que el rango es $y \geq 0$.

• El dominio es el conjunto de todos los números reales
• El rango es $y \geq 0$
• El mínimo es $0$, alcanzado en $x = 0$
• No hay punto de inflexión

Simetría

Como $|-x| = |x|$, la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje $y$.

Forma de la gráfica

La gráfica tiene forma de V, compuesta por la parte de la recta $y = x$ con $x \geq 0$ unida a la parte de la recta $y = -x$ con $x < 0$, con el origen $(0, 0)$ como vértice. Está hecha de dos semirrectas y no de una curva, así que no se dobla en ningún sitio y no tiene punto de inflexión.

El pico del origen

La derivada vale $1$ para $x > 0$ y $-1$ para $x < 0$.

En el origen la pendiente por la izquierda es $-1$ y por la derecha es $1$; no coinciden, así que la función no es derivable en $x = 0$. Es el ejemplo habitual de función continua en todas partes que falla en ser derivable en algún punto. Donde la parábola $y = x^2$ tiene un valle suave en el origen, $|x|$ tiene un pico agudo.

Soluciones de la ecuación $|x| = a$

Puntos destacados

La gráfica pasa por $(\pm 1, 1)$, $(\pm 2, 2)$ y $(\pm 3, 3)$. La magnitud de la pendiente vale $1$ en todas partes, así que el valor crece a ritmo constante conforme uno se aleja del origen.

Relación con otras funciones

Es igual a $\sqrt{x^2}$, y también a $\max(x, -x)$. Tanto $|x|$ como $x^2$ son pares, pero $x^2$ se aplana cerca del origen mientras que $|x|$ se pliega ahí con pendiente constante. La distancia a un punto del plano, $\sqrt{x^2 + y^2}$, es la versión bidimensional de esta función.

Aplicaciones

Mide el tamaño de un error sin atender al signo.

• En estadística, minimizar una suma de valores absolutos (la norma $L^1$) da un ajuste robusto frente a los valores atípicos
• La desigualdad triangular $|a + b| \leq |a| + |b|$ sostiene toda rama de las matemáticas que trate con distancias
• La ReLU del aprendizaje automático puede escribirse $\max(x, 0) = \dfrac{x + |x|}{2}$, que no es más que la mitad derecha del valor absoluto