y = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}

Gráfica de la función $y = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}$

$y = \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)^{x}$ se acerca al número de Euler $e$ conforme $x$ crece. Cuando $e$ se define como el límite de la sucesión $\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}$ , esta es la curva que hay detrás de esa definición. Una base que tiende a $1$ y un exponente que tiende a infinito tiran en sentidos contrarios y ninguno gana: el resultado se asienta en un valor finito.

Dominio

Una potencia real exige que la base $1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{x+1}{x}$ sea positiva, así que el dominio es $x > 0$ junto con $x < -1$ . En $-1 \leq x \leq 0$ la base no es positiva y la gráfica sencillamente se interrumpe.

Las dos ramas

Rama	Comportamiento en los extremos	Rango
$x > 0$	$1$ cuando $x \to 0^{+}$ , $e$ cuando $x \to \infty$	$1 < y < e$
$x < -1$	$+\infty$ cuando $x \to -1^{-}$ , $e$ cuando $x \to -\infty$	$y > e$

El extremo izquierdo de la rama derecha es una forma indeterminada $\infty^{0}$ , pero el logaritmo $x\ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)$ tiende a $0$ , así que $y \to 1$ . En la rama izquierda la recta $x = -1$ es una asíntota vertical. Las dos ramas encierran a $e$ por arriba y por abajo sin que ninguna llegue a alcanzarlo.

Monotonía

Derivemos $\ln y = x\ln\left( 1 + \dfrac{1}{x} \right)$ .

\frac{d}{dx}\ln y = \ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) - \frac{1}{x+1}

Escribir $u = \dfrac{1}{x}$ lo convierte en $\ln(1+u) - \dfrac{u}{1+u}$ , que es positivo para todo $u > 0$ , así que la rama derecha crece. La rama izquierda también crece conforme $x$ aumenta.

Lo despacio que converge

El error se reduce aproximadamente como $\dfrac{e}{2x}$ .

$n$	$\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}$
$10$	$2.59374$
$100$	$2.70481$
$1000$	$2.71692$
$10^{6}$	$2.718280$

Ganar una sola cifra de precisión cuesta multiplicar $x$ por diez, lo que convierte esto en una manera pésima de calcular $e$ . En la práctica se usa la serie $e = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}$ , en la que cada término nuevo mejora la precisión de forma espectacular.

Interés compuesto

Un capital de $1$ a un tipo anual del $100\%$ , capitalizado $n$ veces a lo largo del año, se convierte en $\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}$ . Capitalizar más a menudo siempre ayuda pero, por fina que sea la partición, nunca se supera $e \approx 2.718$ . Jacob Bernoulli estudió este problema en $1683$ , que suele considerarse la primera aparición de $e$ en matemáticas, y la expresión capitalización continua se refiere a tomar este límite.

Generalización

El mismo argumento da un límite para cualquier constante $a$ .

\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x} \right)^{x} = e^{a}

Tomando $a = -1$ resulta $\left( 1 - \dfrac{1}{x} \right)^{x} \to \dfrac{1}{e}$ . Esta es la visión de $e^{a}$ como límite de aplicar una cantidad $a$ en plazos cada vez más finos, y es un recurso básico para construir límites continuos en ecuaciones diferenciales y en probabilidad.

Gráfica de la función y=(1+1x)xy = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}y=(1+x1​)x