Intersección de dos rectas

La intersección de dos rectas es el punto que pertenece a ambas. Allí, el valor de $y$ calculado con una ecuación y el calculado con la otra coinciden exactamente. Por eso, para hallarla igualamos las dos expresiones de $y$ y las reducimos a una sola ecuación. Eso es precisamente lo que significa resolver un sistema de ecuaciones¹.

Resolución del sistema

Busquemos dónde se cortan las rectas $y = 2x - 1$ e $y = -x + 5$ . En el punto de encuentro los dos valores de $y$ son iguales.

\begin{align*} 2x - 1 &= -x + 5 \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \end{align*}

Al sustituir, $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . La intersección es, por tanto, $(2, 3)$ .

Comprobemos $(2, 3)$ también en la otra ecuación: $-2 + 5 = 3$ , así que el punto está realmente sobre ambas rectas. Como una intersección es un punto que satisface las dos ecuaciones a la vez, esta sustitución es toda la verificación que necesita la respuesta.

Número de intersecciones

La idea clave es que el número de intersecciones es igual al número de soluciones de la ecuación. Buscar la intersección de $y = a_1 x + b_1$ e $y = a_2 x + b_2$ conduce a lo siguiente.

(a_1 - a_2)x = b_2 - b_1

Que esta ecuación de primer grado se pueda resolver o no decide cómo se encuentran las rectas.

Condición	La ecuación	Las rectas
$a_1 \neq a_2$	una solución	se cortan en un único punto
$a_1 = a_2$ , $b_1 \neq b_2$	sin solución	son paralelas y no se cortan
$a_1 = a_2$ , $b_1 = b_2$	todo $x$ sirve	coinciden

Dicho de otro modo, mientras las pendientes sean distintas, dos rectas se cortan forzosamente en un único punto. Es imposible que dos rectas no paralelas no se encuentren. Aquí las pendientes son $2$ y $-1$ , de modo que hay exactamente una intersección.

Otra forma de las ecuaciones

Las rectas no siempre llegan escritas como $y = \cdots$ . Pueden venir en la forma $ax + by = c$ , y entonces resulta más cómodo sumar o restar las ecuaciones para eliminar una incógnita.

\begin{align*} 2x - y &= 1 \\ x + y &= 5 \end{align*}

Al sumarlas se cancelan los términos en $y$ y queda $3x = 6$ , de donde $x = 2$ otra vez. Despejar $y$ e igualar, o eliminar directamente, lleva a la misma intersección.

Aplicaciones

El cruce de una recta de demanda con una de oferta es el equilibrio del mercado
El cruce de dos rectas de costes es el punto de equilibrio en el que conviene cambiar de tarifa
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

El punto grande de la gráfica es la intersección $(2, 3)$ de este ejemplo.

System of linear equations, Wikipedia