y = \dfrac{1}{x^3}

Gráfica de la función $y = 1/x^3$

$y = \dfrac{1}{x^3}$ es la función potencia $y = x^n$ con $n = -3$ . Igual que la recíproca, es simétrica respecto del origen, pero la potencia mayor del denominador hace que suba más bruscamente cerca del origen y que caiga hacia $0$ más deprisa a lo lejos.

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$
El rango es $y \neq 0$
Es una función impar
Cada rama decrece, sin extremos

Simetría

De $f(-x) = -f(x)$ se sigue que la función es impar. Es positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$ , así que la curva queda solo en el primer y el tercer cuadrante. Contrasta con la potencia par $y = \dfrac{1}{x^2}$ , que ocupa el primer y el segundo.

Función	Paridad	Cuadrantes
$\dfrac{1}{x^2}$	par	primero y segundo
$\dfrac{1}{x^3}$	impar	primero y tercero

Monotonía

La derivada es $f'(x) = -\dfrac{3}{x^4}$ . Como $x^4$ es positivo siempre que $x \neq 0$ , la derivada es siempre negativa y la función decrece en cada rama por separado. No es decreciente en todo el dominio, sin embargo: $f(-1) = -1$ mientras que $f(1) = 1$ , de modo que el valor sube al pasar por encima de $x = 0$ .

Concavidad

La segunda derivada es $f''(x) = \dfrac{12}{x^5}$ , positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$ . La mitad derecha es cóncava hacia arriba y la izquierda, cóncava hacia abajo. El signo cambia en $x = 0$ , pero ese punto queda fuera del dominio, así que no hay punto de inflexión.

Asíntotas

Cuando $x \to 0^{+}$ se tiene $y \to +\infty$ y cuando $x \to 0^{-}$ se tiene $y \to -\infty$ , así que el eje $y$ es una asíntota vertical. Cuando $x \to \pm\infty$ se tiene $y \to 0$ , lo que hace del eje $x$ una asíntota horizontal.

Comparación con la recíproca

Las dos gráficas se cortan en $(1, 1)$ y $(-1, -1)$ , ya que resolver $\dfrac{1}{x^3} = \dfrac{1}{x}$ da $x^2 = 1$ .

$x$	$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{1}{x^3}$
$\dfrac{1}{2}$	$2$	$8$
$1$	$1$	$1$
$2$	$0.5$	$0.125$

Para $|x| > 1$ el cubo queda más cerca de cero, mientras que para $0 < |x| < 1$ se dispara mucho más.

Función inversa

Al despejar $x$ en $y = \dfrac{1}{x^3}$ se obtiene la inversa $y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$ . A diferencia de $y = \dfrac{1}{x}$ , que es su propia inversa, esta función va a parar a otra distinta.

Integrales y aplicaciones

La primitiva es $-\dfrac{1}{2x^2} + C$ .

Integral	Resultado
$\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^3}$	converge a $\dfrac{1}{2}$
$\int_0^1 \dfrac{dx}{x^3}$	diverge en el origen

En física esta forma describe magnitudes que decaen con el cubo de la distancia: el campo de un dipolo eléctrico o magnético¹ y la fuerza de marea que la Luna y el Sol ejercen sobre la Tierra².

Dipole, Wikipedia
Tidal force, Wikipedia

Gráfica de la función y=1/x3y = 1/x^3y=1/x3