y = \dfrac{\sinh x}{x}

Gráfica de la función $y = \dfrac{\sinh x}{x}$

$y = \dfrac{\sinh x}{x}$ es el seno hiperbólico dividido por $x$ . Se parece muchísimo a la función sinc $\dfrac{\sin x}{x}$ y, sin embargo, se comporta de manera completamente distinta. Donde la sinc oscila y decae, esta no oscila en absoluto y se limita a crecer.

Dominio y límite

El denominador se anula en $x = 0$ , así que el dominio es $x \neq 0$ . Pero $\sinh x \approx x$ cerca del origen, de modo que existe el límite siguiente.

\lim_{x \to 0}\frac{\sinh x}{x} = 1

Poner $f(0) = 1$ hace la función continua en toda la recta, y esa es la definición habitual. Es una singularidad evitable y, en la gráfica, solo ese punto es un hueco.

Simetría y rango

Tanto $\sinh$ como $x$ son impares, así que su cociente es par y la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ . Desarrollar en serie da lo siguiente.

\frac{\sinh x}{x} = 1 + \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}

Todos los términos posteriores al primero son positivos, así que $y \geq 1$ y el rango es todo lo que va de $1$ hacia arriba. No hay ceros.

Comparación con la sinc

La serie de la función sinc tiene coeficientes de la misma magnitud, y se diferencia solo en la alternancia de signos.

\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots

Esa sola diferencia de signos hace que una oscile y decaiga hasta $0$ mientras que la otra crece de forma monótona y diverge.

Aspecto	$\dfrac{\sin x}{x}$	$\dfrac{\sinh x}{x}$
Límite en $x = 0$	$1$	$1$
Rango	$\approx -0.217 \leq y \leq 1$	$y \geq 1$
Ceros	$x = n\pi$ con $n \neq 0$	ninguno
A lo lejos	oscila hacia $0$	diverge exponencialmente
En el origen	máximo	mínimo

La relación entre $\sin$ y $\sinh$ se traslada intacta, y poner las dos gráficas una al lado de la otra deja clara la diferencia.

Monotonía y comportamiento a lo lejos

Examinar la derivada muestra que es positiva para $x > 0$ , así que la mitad derecha crece de forma monótona. La función es par, de modo que la mitad izquierda decrece, y el origen es el mínimo.

$x$	$\dfrac{\sinh x}{x}$
$0$	$1$
$1$	$\approx 1.1752$
$2$	$\approx 1.8134$
$3$	$\approx 3.3393$

Para $x$ grande se tiene $\sinh x \approx \dfrac{e^{x}}{2}$ , así que $y \approx \dfrac{e^{x}}{2x}$ : diverge al ritmo de una exponencial dividida por $x$ . No hay asíntota horizontal.

Relación con la distribución uniforme

Tomar la media de $e^{tx}$ sobre la distribución uniforme en el intervalo $[-1, 1]$ produce esta función¹.

\begin{align*} \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}e^{tx}\,dx &= \frac{e^{t} - e^{-t}}{2t} \\ &= \frac{\sinh t}{t} \end{align*}

Dicho de otro modo, la función es la función generatriz de momentos de la distribución uniforme, una forma que aparece por sí sola siempre que se maneja esa distribución en probabilidad.

Aplicaciones

En el lenguaje de las funciones esféricas de Bessel, $\dfrac{\sin x}{x}$ es $j_0(x)$ y $\dfrac{\sinh x}{x}$ es la función esférica de Bessel modificada $i_0(x)$ ². La diferencia entre ambas corresponde a la que hay entre la ecuación de ondas, cuyas soluciones oscilan, y la ecuación de difusión o la de un campo electrostático, cuyas soluciones crecen o decaen exponencialmente.

Moment-generating function, Wikipedia
Bessel function, Wikipedia

Gráfica de la función y=sinh⁡xxy = \dfrac{\sinh x}{x}y=xsinhx​