Gráfica de la parte fraccionaria $y = x - \lfloor x \rfloor$ (onda de diente de sierra)

$y = x - \lfloor x \rfloor$ extrae la parte fraccionaria de $x$, y suele escribirse $\{x\}$¹. Restar la función suelo $\lfloor x \rfloor$, el mayor entero que no supera a $x$, quita la parte entera y deja atrás la fracción.

Para un número negativo la función suelo devuelve el entero de abajo, así que el resultado no es nunca negativo. Que la parte fraccionaria de $-1.2$ sea $0.8$ choca un poco con la intuición, de modo que conviene señalarlo.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es $0 \leq y < 1$. El valor no llega nunca a $1$.

Periodicidad y forma

La función tiene período $1$, con $\{x + 1\} = \{x\}$. En cada intervalo entre enteros consecutivos es una recta de pendiente $1$.

Arranca en $0$ cuando $x = n$, sube en línea recta y se acerca a $1$ justo antes del entero siguiente. Que esa forma se repita es la razón de que la gráfica se llame onda de diente de sierra.

Discontinuidades y saltos

La función es discontinua en todos los enteros. Al acercarse a un entero $n$ por la izquierda el valor tiende a $1$, pero en $x = n$ se reinicia a $0$. El salto es, por tanto, de $-1$: la curva cae de vuelta al suelo justo antes de tocar el techo. Cada peldaño incluye su extremo izquierdo, donde el valor es $0$, y excluye el derecho.

Que la función suelo sea continua por la derecha se traslada directamente a esta.

Relación con otras funciones

• La parte fraccionaria se construye con la función suelo y coincide con $x \bmod 1$
• El valor es $0$ exactamente cuando $x$ es entero
• Escribir $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$ recupera la función suelo a partir de la parte fraccionaria

Serie de Fourier

En los puntos no enteros la función viene dada por la serie siguiente.

El término constante $\dfrac{1}{2}$ es la altura media a lo largo de un período. A diferencia de una onda cuadrada, esta contiene también armónicos pares, y los coeficientes decaen como $\dfrac{1}{n}$. Como la forma de onda tiene saltos, la convergencia es lenta y las sumas parciales muestran el fenómeno de Gibbs.

Aplicaciones

• La forma de onda del oscilador de un sintetizador
• El acumulador de fase, que hace avanzar una fase repetidamente de $0$ a $1$
• Los cálculos con restos en general

Contener todos los armónicos le da un timbre brillante, lo que la convierte en punto de partida predilecto de la síntesis sustractiva, en la que un filtro talla el sonido.

1. Sawtooth wave, Wikipedia