Integrales definidas de la exponencial

Derivada o integrada, exe^x sigue siendo exe^x1. Calculamos su integral.

∫01ex dx=[ex]01=e−1≈1.71828\int_0^1 e^x\,dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e - 1 \approx 1.71828

Como la primitiva es la función misma, el área sale solo de la diferencia de los valores en los extremos.

La función área tiene la misma forma

Escribiendo el área de 00 a xx como F(x)=ex−1F(x) = e^x - 1, la gráfica de FF es la de exe^x bajada 11. Normalmente una función área tiene una forma distinta de la original; con exe^x eso no ocurre.

El área es igual a la altura

Consideremos el área de −∞-\infty a xx.

∫−∞xet dt=[et]−∞x=ex\int_{-\infty}^{x} e^t\,dt = \left[ e^t \right]_{-\infty}^{x} = e^x

Es exactamente la altura exe^x en el punto xx. La franja infinita que se extiende hacia la izquierda tiene área finita porque ete^t cae a 00 muy deprisa.

Las integrales principales

IntegralResultado
∫01exdx\int_0^1 e^x dxe−1≈1.718e - 1 \approx 1.718
∫−∞xetdt\int_{-\infty}^{x} e^t dtexe^x
∫0∞e−xdx\int_0^{\infty} e^{-x} dx11
∫012xdx\int_0^1 2^x dx1log⁡2≈1.443\dfrac{1}{\log 2} \approx 1.443

El decaimiento de una exponencial confina un intervalo infinito en un área finita. Cuando la base no es ee aparece un coeficiente: la derivación multiplicaba por log⁡2\log 2, así que la integración divide por él.

Aplicaciones

En las aplicaciones esta integral aparece como el total de alguna cantidad.

  • La cantidad que queda tras el decaimiento de una sustancia radiactiva
  • La carga que entra en un condensador
  • La suma acumulada por el interés compuesto

En todos ellos la razón de cambio es proporcional a la cantidad, e integrar hace aparecer una exponencial.

La curva de fuerte crecimiento de la gráfica es y=exy = e^x, la curva bajada 11 que representa el área es y=ex−1y = e^x - 1, y los puntos grandes son (0,1)(0, 1) y (1,e)(1, e).

  1. Exponential function, Wikipedia