Amplitud y período

Comparamos la gráfica de $y = 2\sin 2x$ con la básica $y = \sin x$. En general, $y = a\sin bx$ con $b > 0$ tiene amplitud $|a|$ y período $\dfrac{2\pi}{b}$.

Amplitud y período

Aquí $a = 2$ y $b = 2$, así que la amplitud es $2$ y el período es $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

La gráfica queda estirada al doble de altura y comprimida a la mitad de anchura.

El papel de $a$

El papel de $a$ es simple. El seno recorre de $-1$ a $1$, así que multiplicar por $a$ hace que recorra de $-|a|$ a $|a|$. La gráfica se estira verticalmente en un factor $a$, y eso es todo.

El papel de $b$

El papel de $b$ exige pensar un momento. El seno completa un ciclo cuando su argumento aumenta en $2\pi$. El argumento es $bx$, así que, llamando $T$ al aumento de $x$ necesario para un ciclo, resulta lo siguiente.

Cuanto mayor es $b$, más deprisa crece el argumento, así que la onda se comprime horizontalmente y el período se acorta. Con $b = 2$ un ciclo se completa en la mitad del recorrido original de $x$.

Ceros y máximos

Los ceros y los máximos se apiñan en el mismo factor. Los ceros de $y = \sin x$ llegan cada $\pi$, mientras que los de $y = 2\sin 2x$ llegan cada $\dfrac{\pi}{2}$. El máximo ocurre donde el argumento vale $\dfrac{\pi}{2}$, así que $2x = \dfrac{\pi}{2}$ da $x = \dfrac{\pi}{4}$, y el valor allí es $2$.

La forma más general

• $a$ es la amplitud, el estiramiento vertical
• $b$ fija el período, el estiramiento horizontal
• $c$ es el desplazamiento horizontal, la fase
• $d$ es la traslación vertical

Aplicaciones

Para una onda sonora, $a$ es el volumen y $b$ el tono, siendo la frecuencia $\dfrac{b}{2\pi}$; para una corriente alterna, $a$ fija el tamaño de la tensión y $b$ la frecuencia. La amplitud y el período son las dos primeras cosas que hay que mirar siempre que se habla de una onda.

Los puntos grandes son el máximo de $2\sin 2x$ en $\left( \dfrac{\pi}{4}, 2 \right)$ y el máximo de $\sin x$ en $\left( \dfrac{\pi}{2}, 1 \right)$.