Demostrar desigualdades con derivadas

Una desigualdad puede demostrarse tomando la diferencia y examinando dónde crece y dónde decrece. Confirmamos $e^x \geq 1 + x$ .

Examinar la diferencia

Pongamos $g(x) = e^x - 1 - x$ . Lo que hay que demostrar es que $g(x) \geq 0$ para todo $x$ .

g'(x) = e^x - 1

La función $e^x$ crece de forma monótona y vale $1$ en $x = 0$ .

Intervalo	$e^x$	$g'$	Comportamiento de $g$
$x < 0$	$< 1$	negativa	decreciente
$x > 0$	$> 1$	positiva	creciente

Así que $g$ es mínima en $x = 0$ , donde su valor es $g(0) = 0$ . Como el mínimo es $0$ , se tiene $g(x) \geq 0$ , es decir, $e^x \geq 1 + x$ para todo $x$ , con igualdad solo en $x = 0$ .

Verlo en el dibujo

La recta $y = 1 + x$ es la tangente a $y = e^x$ en $x = 0$ . Como $g''(x) = e^x > 0$ , la función $e^x$ es convexa, y una función convexa queda por encima de todas sus tangentes¹. Esta desigualdad es un caso de eso.

Las sustituciones dan otras formas

Sustitución	Desigualdad obtenida
$x \to -x$	$e^{-x} \geq 1 - x$
$x \to \ln t$	$\ln t \leq t - 1$
$x \to \dfrac{1}{n}$	$e^{1/n} \geq 1 + \dfrac{1}{n}$

La segunda se usa mucho como manera de acotar un logaritmo por arriba.

Un enlace con la definición de $e$

Elevar ambos miembros de la tercera a la potencia $n$ da lo siguiente.

e \geq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Que la sucesión que aparece en la definición de $e$ no supere nunca a $e$ se sigue de esta sola desigualdad.

El procedimiento

Tomar la diferencia
Derivar
Hallar el mínimo o el máximo por el cambio de signo
Ver si ese valor es al menos $0$

Para demostrar algo solo para $x > 0$ , basta examinar el valor en el extremo de ese intervalo junto con la monotonía. Demostrar una desigualdad se convierte en una cuestión de crecimiento y decrecimiento.

La curva convexa de la gráfica es $y = e^x$ , su tangente es $y = 1 + x$ , la diferencia de las dos es $y = e^x - 1 - x$ , y los puntos grandes son el punto de tangencia $(0, 1)$ y el origen, donde la diferencia vale $0$ .

Convex function, Wikipedia