y = x + \dfrac{1}{x}

Gráfica de la función racional $y = x + \dfrac{1}{x}$

$y = x + \dfrac{1}{x}$ no es más que una función lineal sumada a una recíproca y, sin embargo, es el ejemplo habitual de curva con asíntota oblicua, y la función en la que la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se vuelve visible como forma.

Dominio y simetría

El dominio es $x \neq 0$ . Como $f(-x) = -f(x)$ , la función es impar y la gráfica es simétrica respecto del origen.

Monotonía y extremos

La derivada es $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2}$ . El denominador es siempre positivo, así que el signo lo da únicamente $x^2 - 1$ .

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	creciente	máximo $-2$	decreciente	mínimo $2$	creciente

El tramo decreciente queda interrumpido en $x = 0$ , que está fuera del dominio. La segunda derivada $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$ hace que la curva sea cóncava hacia arriba para $x > 0$ y cóncava hacia abajo para $x < 0$ , sin punto de inflexión.

Media aritmética y media geométrica

Para $x > 0$ , la desigualdad entre las dos medias da lo siguiente¹.

x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2

La igualdad se cumple solo cuando $x = \dfrac{1}{x}$ , es decir, en $x = 1$ . El valor mínimo hallado al derivar es precisamente el caso de igualdad de esta desigualdad.

Rango

Como la función es impar, la rama con $x < 0$ tiene un máximo de $-2$ , así que ningún valor de $-2 < y < 2$ se alcanza. La misma conclusión se obtiene algebraicamente: reordenar $x + \dfrac{1}{x} = k$ da $x^2 - kx + 1 = 0$ , que tiene solución real solo cuando $k^2 - 4 \geq 0$ .

Asíntotas

Aproximación	Comportamiento
$x \to 0^{+}$	$y \to +\infty$
$x \to 0^{-}$	$y \to -\infty$
$x \to \pm\infty$	$y - x \to 0$

El eje $y$ es una asíntota vertical y, como $y - x = \dfrac{1}{x}$ tiende a $0$ , la recta $y = x$ es una asíntota oblicua a la que la curva se abraza cada vez más lejos del origen.

Qué es la curva en realidad

Multiplicar $y - x = \dfrac{1}{x}$ por $x$ da $x^2 - xy + 1 = 0$ . Esto es una cónica, y la presencia del término $xy$ la identifica como una hipérbola. Sus asíntotas son el eje $y$ y la recta $y = x$ , que se cortan a $45^\circ$ , así que, a diferencia de la recíproca sencilla, no es una hipérbola equilátera.

Invariancia frente a la recíproca

Como $f\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = f(x)$ , la función toma el mismo valor en $x$ y en $\dfrac{1}{x}$ : por ejemplo, $f(2) = f\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{2}$ , de modo que las parejas recíprocas quedan a la misma altura. Sustituyendo $x = e^{t}$ resulta $y = 2\cosh t$ , así que la rama con $x > 0$ puede leerse como un coseno hiperbólico estirado.

Aplicaciones

Un rectángulo de área $1$ y altura $x$ tiene base $\dfrac{1}{x}$ y perímetro $2\left(x + \dfrac{1}{x}\right) \geq 4$ . La igualdad se da en $x = 1$ , lo que muestra que, entre los rectángulos de área fija, el cuadrado es el de menor perímetro.

Extendida a los números complejos, $w = z + \dfrac{1}{z}$ es la transformación de Joukowski², que lleva una circunferencia a un perfil alar y se usa en aerodinámica.

AM-GM inequality, Wikipedia
Joukowsky transform, Wikipedia

Gráfica de la función racional y=x+1xy = x + \dfrac{1}{x}y=x+x1​