y = \cos x

Gráfica de la función coseno $y = \cos x$

$y = \cos x$ es la coordenada $x$ del punto que está en el ángulo $x$ , medido en radianes, sobre la circunferencia unidad¹. Donde el seno da la altura de ese punto, el coseno da su posición horizontal. La gráfica es la misma onda que la del seno, solo que desplazada.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango es el intervalo $[-1, 1]$ .

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $-1 \leq y \leq 1$
La amplitud es $1$ y el período es $2\pi$
El máximo $1$ cae en $x = 2n\pi$ y el mínimo $-1$ en $x = (2n+1)\pi$

Periodicidad

Como $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ , el período es $2\pi$ .

Simetría

Como $\cos(-x) = \cos x$ , es una función par, simétrica respecto del eje $y$ . Esta es la diferencia más marcada con el seno, que es impar.

Monotonía y extremos

La derivada es $y' = -\sin x$ . La función alcanza su máximo $1$ en $x = 2n\pi$ y su mínimo $-1$ en $x = (2n + 1)\pi$ . En particular, arranca en una cresta, ya que $\cos 0 = 1$ .

La segunda derivada $y'' = -\cos x$ cambia de signo en cada cero, así que los puntos de inflexión están en $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ y coinciden con los ceros.

Valores destacados

$x$	$\cos x$
$0$	$1$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$0$
$\pi$	$-1$

Los ceros son las soluciones de $\cos x = 0$ , a saber, $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ .

Aproximación cerca del origen

La tangente en $(0, 1)$ es horizontal y, cerca de esa cresta, una parábola hacia abajo aproxima muy bien la curva.

\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}

La serie de Taylor solo tiene potencias pares y converge para todo número real.

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

Comparación con el seno

Aspecto	$y = \sin x$	$y = \cos x$
Valor en $x = 0$	$0$	$1$
Simetría	impar	par
Dónde cae el máximo	$\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$	$2n\pi$
Ceros	$n\pi$	$\dfrac{\pi}{2} + n\pi$
Derivada	$\cos x$	$-\sin x$

Como $\cos x = \sin\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ , el coseno es la onda del seno desplazada $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la izquierda. Los puntos donde $\cos x = 0$ fijan las posiciones de las asíntotas verticales de $\tan x$ y de $\sec x$ . En la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ , el coseno aporta la parte real.

Ligar ángulos con longitudes

El coseno enlaza ángulos con longitudes, como en el producto escalar y en el teorema del coseno².

\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C \end{align*}

Aplicaciones

Calcular el ángulo entre dos vectores
El teorema del coseno para resolver triángulos
El factor de potencia de la corriente alterna
Las componentes en coseno de un desarrollo de Fourier

Como onda es idéntica al seno pero, al alcanzar su cima en $x = 0$ , es la referencia natural para la fase.

Sine and cosine, Wikipedia
Law of cosines, Wikipedia

Gráfica de la función coseno y=cos⁡xy = \cos xy=cosx