y = e^{-|x|}

Gráfica de la exponencial bilateral $y = e^{-|x|}$

$y = e^{-|x|}$ hace simétrico respecto del origen el decaimiento de la exponencial. Llamada también exponencial bilateral, se convierte en la densidad de la distribución de Laplace en probabilidad en cuanto se multiplica por $\dfrac{1}{2}$ ¹. Puesta al lado de la gaussiana $y = e^{-x^2}$ , las diferencias en la forma del pico y en el peso de las colas se ven con facilidad.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $0 < y \leq 1$
El máximo $1$ se alcanza en $x = 0$
Es una función par

Simetría

Como $f(-x) = f(x)$ , la función es par y simétrica respecto del eje $y$ . Son dos curvas exponenciales unidas: $e^{-x}$ para $x \geq 0$ y $e^{x}$ para $x \leq 0$ .

El pico del origen

En el origen, donde se unen las dos piezas, las derivadas por los dos lados no coinciden.

Aproximación	Derivada
por la derecha	$-1$
por la izquierda	$+1$

La función no es, por tanto, derivable en el origen, y la gráfica tiene allí un pico agudo. Eso contrasta con la cima suave y redondeada de la gaussiana.

Monotonía y concavidad

Para $x > 0$ se tiene $y' = -e^{-x} < 0$ , así que la función decrece, y para $x < 0$ se tiene $y' = e^{x} > 0$ , así que crece. La segunda derivada es $y'' = e^{-|x|} > 0$ para $x \neq 0$ , de modo que los dos lados son cóncavos hacia arriba y no hay punto de inflexión. Cuando $x \to \pm\infty$ resulta $y \to 0$ , lo que hace del eje $x$ una asíntota horizontal.

Comparación con la gaussiana

Las dos gráficas se encuentran en $x = 0$ y en $x = \pm 1$ , ya que $e^{-|x|} = e^{-x^2}$ da $|x| = x^2$ ; en los cruces el valor común es $\dfrac{1}{e} \approx 0.368$ .

$x$	$e^{-\|x\|}$	$e^{-x^2}$
$0.5$	$\approx 0.6065$	$\approx 0.7788$
$1$	$\approx 0.3679$	$\approx 0.3679$
$2$	$\approx 0.1353$	$\approx 0.0183$
$3$	$\approx 0.0498$	$\approx 0.000123$

Para $|x| < 1$ la gaussiana queda por encima, y para $|x| > 1$ lo hace la exponencial bilateral. Dicho de otro modo, la gaussiana se abomba más en el centro mientras que la exponencial bilateral tiene las colas más pesadas. En $x = 3$ la diferencia es de más de cuatrocientas veces.

La distribución de Laplace

La integral en toda la recta vale $2$ , así que $\dfrac{1}{2}e^{-|x|}$ es una densidad de probabilidad. Esa es la distribución de Laplace estándar.

Magnitud	Valor
Media	$0$
Varianza	$2$
Desviación media absoluta	$1$

Se sabe además que la diferencia de dos variables exponenciales independientes sigue esta distribución.

Transformada de Fourier

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}e^{-i\omega x}\,dx = \frac{2}{1+\omega^2}

La imagen es la forma de la bruja de Agnesi. Un pico anguloso de colas pesadas se transforma en una función racional suave.

Aplicaciones

En estadística, la distribución de Laplace es la de máxima entropía cuando lo que se mantiene fijo es la desviación media absoluta y no la varianza. Hace pareja con el hecho de que la gaussiana sea la de máxima entropía cuando lo fijo es la varianza.

En aprendizaje automático, poner una distribución de Laplace como distribución a priori sobre los coeficientes corresponde a la regularización $L^1$ . El pico del origen es lo que empuja a muchos coeficientes a valer exactamente $0$ , lo que da las soluciones dispersas por las que se conoce ese método.

Laplace distribution, Wikipedia

Gráfica de la exponencial bilateral y=e−∣x∣y = e^{-|x|}y=e−∣x∣