El teorema fundamental del cálculo

La derivación y la integración son operaciones inversas, y el enunciado de eso es el teorema fundamental del cálculo¹. Lo seguimos con $f(x) = x^2$ .

El área como función

Consideremos el área de $0$ a $x$ como función de $x$ .

F(x) = \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}

Derivar esta $F$ devuelve $F'(x) = x^2 = f(x)$ . Derivar la función que representa un área da de vuelta la función original.

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)

La razón aparece en cómo crece el área. Cuando $x$ aumenta en $h$ , el área gana una franja estrecha de anchura $h$ y altura aproximadamente $f(x)$ . El incremento es de unos $f(x) h$ , así que dividir entre $h$ y hacer $h \to 0$ deja $f(x)$ .

La otra forma

Escribiendo $F$ para una primitiva de $f$ se obtiene el método para calcular una integral definida.

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

En lugar de sumar un área en trozos finos, basta una resta de primitivas. Así, $\int_1^2 x^2 dx = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$ .

Leer la correspondencia en la gráfica

Magnitud en $x = 1$	Valor
$f(1)$	$1$
$F(1)$	$\dfrac{1}{3}$
Pendiente de la tangente a $F$ , es decir, $F'(1)$	$1$

La altura de $f$ es la pendiente de $F$ .

Signo y monotonía

Signo de $f$	Comportamiento de $F$
positivo	creciente
negativo	decreciente
$0$	tangente horizontal

Que el signo de $f$ decida si $F$ sube o baja es otra manera de enunciar el teorema.

La parábola de la gráfica es $y = x^2$ , la cúbica que representa el área es $y = \dfrac{x^3}{3}$ , y los puntos grandes son el punto con $f(1) = 1$ y el punto con $F(1) = \dfrac{1}{3}$ .

Fundamental theorem of calculus, Wikipedia