y=∣sin⁡x∣y = |\sin x|

Gráfica de la función y=∣sin⁡x∣y = |\sin x|

y=∣sin⁡x∣y = |\sin x| es el valor absoluto del seno sin⁡x\sin x. Las semiondas negativas quedan plegadas hacia el lado positivo, lo que da una gráfica de arcos en fila.

Definición

∣sin⁡x∣={sin⁡x(sin⁡x≥0)−sin⁡x(sin⁡x<0)|\sin x| = \begin{cases} \sin x & (\sin x \geq 0) \\ -\sin x & (\sin x < 0) \end{cases}

Dominio y rango

  • El dominio es el conjunto de todos los números reales
  • El rango es 0≤y≤10 \leq y \leq 1
  • El período es π\pi
  • Es una función par

Periodicidad

El seno tiene período 2π2\pi, pero el valor absoluto pliega la semionda negativa sobre el lado positivo y reduce el período a la mitad, hasta π\pi. En efecto, ∣sin⁡(x+π)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|.

Simetría

Como ∣sin⁡(−x)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣|\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x|, la función es par y simétrica respecto del eje yy. Es también simétrica respecto de cada recta x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi que pasa por la cima de un arco.

Los picos

En cada intervalo la curva sube de 00 a un máximo de 11 y vuelve a bajar a 00, repitiendo el mismo arco. El máximo 11 se alcanza en x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi.

En x=nπx = n\pi el valor es 00, pero la pendiente cambia de signo allí, lo que produce un pico agudo donde la función no es derivable. A diferencia de la suave onda del seno, los puntos que tocan el eje xx son picos.

Aproximación a x=0x = 0Pendiente
por la derecha, x→0+x \to 0^{+}11
por la izquierda, x→0−x \to 0^{-}−1-1

La función es continua en todas partes pero deja de ser derivable en los picos x=nπx = n\pi. Es un ejemplo conocido de función continua sin ser derivable.

Valores destacados

xx∣sin⁡x∣|\sin x|
0000
π6\dfrac{\pi}{6}12\dfrac{1}{2}
π2\dfrac{\pi}{2}11
5π6\dfrac{5\pi}{6}12\dfrac{1}{2}
π\pi00

Valor medio y serie de Fourier

La altura media a lo largo de un período es la siguiente.

1π∫0πsin⁡x dx=2π≈0.6366\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366

Desarrollar en serie de Fourier hace aparecer esa media como término constante.

∣sin⁡x∣=2π−4π∑k=1∞cos⁡2kx4k2−1|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos 2kx}{4k^2 - 1}

Al ser par, la función no tiene términos en seno y, como el período es π\pi, solo aparecen los múltiplos pares de la frecuencia.

Aplicaciones

La forma de onda de la rectificación de onda completa, que convierte corriente alterna en algo próximo a corriente continua, es exactamente la de ∣sin⁡x∣|\sin x|1. El valor medio 2π\dfrac{2}{\pi} da a grandes rasgos la tensión de salida tras la rectificación.

  • La forma de onda de salida de un circuito rectificador
  • Un modelo de señal periódica con quiebros
  • Un ejercicio de derivación e integración de valores absolutos combinados con funciones trigonométricas
  1. Rectifier, Wikipedia