y = \sinh x

Gráfica del seno hiperbólico $y = \sinh x$

La función seno hiperbólico $y = \sinh x$ se define a partir de la función exponencial¹.

\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}

Es la contrapartida hiperbólica del seno ordinario $\sin x$ .

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es el conjunto de todos los números reales
Crece de forma monótona
Es una función impar

Al estar construida con la diferencia de $e^x$ y $e^{-x}$ , tiene valor en todo número real. A diferencia del seno, sus valores no están acotados, y esa es la diferencia más marcada entre ambas.

Simetría

Como $\sinh(-x) = \dfrac{e^{-x} - e^{x}}{2} = -\sinh x$ , la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen.

Monotonía

La derivada es $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$ . Como $\cosh x$ vale siempre al menos $1$ y es por tanto positivo, $\sinh x$ es estrictamente creciente en toda la recta real y no tiene extremos.

La segunda derivada es el propio $\sinh x$ , así que cambia de signo solo en el origen. El único punto de inflexión es $(0, 0)$ , donde la curva pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Relación con la exponencial

\begin{align*} \cosh x + \sinh x &= e^x \\ \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \end{align*}

Pueden leerse $\cosh$ y $\sinh$ como las partes par e impar en las que se descompone la función exponencial.

Cerca del origen y a lo lejos

Zona	Aproximación	Comportamiento
cerca del origen	$\sinh x \approx x$	tangente a la recta $y = x$
$x \to +\infty$	$\sinh x \approx \dfrac{e^x}{2}$	crece exponencialmente
$x \to -\infty$	$\sinh x \approx -\dfrac{e^{-x}}{2}$	cae exponencialmente

No hay asíntotas horizontales. La serie de Taylor solo tiene potencias impares.

\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots

Los coeficientes tienen las mismas magnitudes que los de $\sin x$ ; lo único que falta es la alternancia de signos.

Valores destacados

$x$	$\sinh x$
$0$	$0$
$1$	$\approx 1.1752$
$2$	$\approx 3.6269$
$3$	$\approx 10.0179$

Relación con la hipérbola

Junto con el coseno hiperbólico cumple la identidad $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ , de donde el punto $(\cosh t, \sinh t)$ está siempre sobre la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$ .

Aspecto	Trigonométrico	Hiperbólico
Identidad	$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$	$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$
Curva sobre la que está el punto	la circunferencia unidad	la hipérbola unidad
Derivada del lado del seno	$\cos t$	$\cosh t$
Derivada del lado del coseno	$-\sin t$	$\sinh t$
Período	$2\pi$	ninguno

Esto se corresponde con que $(\cos t, \sin t)$ esté sobre la circunferencia unidad, y es el origen del nombre funciones hiperbólicas.

Aplicaciones

La catenaria, la forma que adopta una cadena o un cable bajo su propio peso
Las ecuaciones de una cuerda vibrante y de la conducción del calor
La suma de velocidades en relatividad especial, a través de la rapidez²

Hyperbolic functions, Wikipedia
Rapidity, Wikipedia

Gráfica del seno hiperbólico y=sinh⁡xy = \sinh xy=sinhx